Números de valores distintos obtenidos al insertar$+ - \times \div ()$ en$\underbrace{2\quad2 \quad2 \quad2\quad...\quad 2}_{n \text{ times}}$

Question

Esta pregunta está inspirada por los valores de $2^{2^{2^{.^{.^{.^{2}}}}}}$ dependiendo de los paréntesis? (Por cierto, espero sinceramente que este tipo de preguntas puede recibir más atención)

Inserte $+ - \times \div ()$ en $$\underbrace{2\quad2 \quad2 \quad2\quad...\quad 2}_{n \text{ times}}$$ Indicar el número de valores distintos que puede obtenerse de esta manera, por $D(n)$. Hay una fórmula general (o de la recurrencia de la relación, al menos) por $D(n)$?

Esta es básicamente la $+ - \times \div ()$ versión de @barakmanos pregunta. Parece que esta pregunta es más fácil que el poder de la torre de la versión. O tal vez no?

Para $n=1$ , no sólo es $2$ valores $-2,2$;

Para $n=2$hay $5$ valores $-4,-1,0,1,4$;

Para $n=3$hay $13$ valores $-8,-6,-3,-2,-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1,2,3,6,8$;

Y para $n=4$ soy reacio a calcular con las manos desnudas. (Ver @DanUznanki respuesta para lo que sigue)

Cualquier idea se agradece. Lo siento si esto es un duplicado.

Edit: Mi investigación muestra que la versión con distintas genérico variables $a_1,a_2,...,a_n$ está resuelto. Ver A182173 para su referencia.

Answer 1

Parece que nos puede hacer esto "inductivamente": para el cálculo de tamaño de la $n$, podemos tomar los valores de la lista para $1 \le k\le n/2$, y los valores de la lista para $(n-k)$, y operar sobre ellos usando el 64 diferentes órdenes de operación.

Afortunadamente, en realidad es sólo el 10 clases de operación, debido a que muchos están duplicados:

• Hay cuatro valores que podemos obtener de la suma y la resta: $a+b$, $-(a+b)$, $a-b$, e $b-a$.
• Sólo hay dos que se pueden obtener a partir de la multiplicación: $ab$ e $-ab$.
• Hay cuatro casos que podemos obtener de la división: $a/b$, $b/a$, $-a/b$, e $-b/a$.

También convenientemente sólo necesitamos probar la no negativo de las entradas en las listas anteriores.

Así, por $n=4$, tenemos:

$-16$, $-12$, $-10$, $-8$, $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-5/2$, $-2$, $-3/2$, $-1$, $-2/3$, $-1/2$, $-1/3$, $-1/4$, $0$, $1/4$, $1/3$, $1/2$, $2/3$, $1$, $3/2$, $2$, $5/2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $16$

Que es $33$ entradas.

He escrito una breve secuencia de comandos que se encuentra de todo, y le dijo que se ejecute a $n=10$, el cual dio los siguientes tamaños: $2,5,13,33,77,185,441,1051,2523,6083$. Al parecer, esta secuencia no está en OEIS, ni positivos-valores-sólo versión! Estoy muy sorprendido.