¿Unión de dos subespacios vectoriales no es un subespacio?

Question

Estoy teniendo dificultades para entender esta afirmación. ¿Alguien podría explicarlo con un ejemplo concreto, por favor?

Answer 1

La razón por la que esto puede suceder es que todos los espacios vectoriales, y por lo tanto los subespacios también, deben estar cerrados bajo la adición (y la multiplicación escalar). La unión de dos subespacios toma todos los elementos que ya están en esos espacios, y nada más. En la unión de los subespacios $W_1$ y $W_2$, hay nuevas combinaciones de vectores que podemos sumar juntos que antes no podíamos, como $v_1 + w_2$ donde $v_1 \in W_1$ y $w_2 \in W_2.

Por ejemplo, tomemos $W_1$ como el eje $x$ y $W_2$ como el eje $y$, ambos subespacios de $\mathbb{R}^2.

Su unión incluye tanto $(3,0)$ como $(0,5)$, cuya suma, $(3,5)$, no está en la unión. Por lo tanto, la unión no es un espacio vectorial.

Answer 2

La unión de dos subespacios es un subespacio si y solo si uno de los subespacios está contenido en el otro.

La parte del "si" debería ser clara: si uno de los subespacios está contenido en el otro, entonces su unión es simplemente el que contiene, por lo que es un subespacio.

Ahora supongamos que ninguno de los subespacios está contenido en el otro subespacio. Entonces existen vectores $x$ y $y$ tales que $x$ está en el primer subespacio pero no en el segundo, y $y$ está en el segundo subespacio pero no en el primero. Entonces afirmo que $x+y$ no puede estar en ninguno de los subespacios, por lo tanto, no puede estar en su unión; por lo tanto, la unión no está cerrada bajo la adición, por lo que no es un subespacio.

Entonces, vamos a probar la afirmación. Si $x+y$ está en el primer subespacio, bueno, también está $x$, por lo que $-x$ también está allí, por lo que $(x+y)+(-x)$ está allí, pero eso es simplemente $y$, lo cual sabemos que no está allí. Hemos llegado a una contradicción con la suposición de que $x+y$ estaba en el primer subespacio, por lo que no puede estar. Un razonamiento muy similar muestra que tampoco puede estar en el segundo subespacio, y hemos terminado.

Answer 3

Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios, entonces $W_1 \cup W_2$ es un subespacio si y solo si $W_1 \subset W_2$ o $W_2 \subset W_1.

Prueba:

($\Leftarrow$) Esta es la dirección fácil.

Si $W_1 \subset W_2$ o $W_2 \subset W_1$ entonces tenemos que $W_1 \cup W_2 = W_2$ o $W_1 \cup W_2 = W_1$, respectivamente. Por lo tanto, $W_1 \cup W_2$ es un subespacio ya que $W_1$ y $W_2$ son subespacios.

($\Rightarrow$) Esta es la dirección más difícil y daré una prueba directa.

Suponiendo que $W_2 \not\subset W_1$, mostraré que $W_1 \subset W_2$. Sea $x \in W_1$ y $y \in W_2 - W_1$. Entonces, por la definición de la unión, tenemos que $x \in W_1 \cup W_2$ y $y \in W_1 \cup W_2$. Por lo tanto, como $W_1 \cup W_2$ es un subespacio, $x + y \in W_1 \cup W_2$ lo que, nuevamente por la definición de la unión, significa que $x + y \in W_1$ o $x + y \in W_2$. Si $x + y \in W_1$ entonces, como $W_1$ es un subespacio, $y = (x + y) + (-x) \in W_1$ lo cual es imposible ya que $y \in W_2 - W_1$. Entonces debe ser que $x + y \in W_2 en cuyo caso, como $W_2$ es un subespacio, $x = (x + y) + (-y) \in W_2$. Por lo tanto, como $x$ era arbitrario, $W_1 \subset W_2$ como se deseaba. $_\Box$

Answer 4

Esta prueba directa en ambas direcciones se basó en la respuesta de buri (es decir, usuario 70692), cuyo comentario me induce a publicar mi edición por separado para ayudar a otros que lo necesiten.

---

Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios, entonces $W_1 \cup W_2$ es un subespacio si y solo si $W_1 \subset W_2$ o $W_2 \subset W_1.

Prueba: ($\Leftarrow$) Esta es la dirección más fácil.

Si $W_1 \subset W_2$ o $W_2 \subset W_1$, entonces tenemos $W_1 \cup W_2 = W_2$ o $W_1 \cup W_2 = W_1$, respectivamente.
Entonces $W_1 \cup W_2$ es un subespacio ya que $W_1$ y $W_2$ son subespacios.

($\Rightarrow$) Esta es la dirección más difícil. Nos dan que $W_1 \cup W_2$ es un subespacio. Usa la técnica de prueba en la P136 del libro How to Prove It, 2nd Ed de Velleman: divide la prueba en 2 casos. En cada caso, prueba que $W_2 \subset W_1$ o $W_1 \subset W_2$.

$\bbox[5px,border:2px solid green]{\text{ 1er caso : } W_2 \subset W_1 \text{ es verdadero }} \;$ Entonces la disyunción $W_2 \subset W_1$ O $W_1 \subset W_2$ es trivialmente verdadera.

$\bbox[5px,border:2px solid green]{\text{ 2do caso : } W_2 \not\subset W_1} \;$ Entonces la disyunción es verdadera $\iff$ $W_1 \subset W_2$. Demuéstralo directamente.

Sea $x \in W_1$ y $y \in W_2 - W_1$.
Por la definición de la unión, tenemos $x \in W_1\cup W_2$ y $y \in W_1\cup W_2.
Como $W_1 \cup W_2$ es un subespacio, $x + y \in W_1 \cup W_2$, lo que, nuevamente por la definición de la unión, significa que $x + y\in W_1$ o $x+y\in W_2$.

Si $x + y \in W_1$, entonces como $W_1$ es un subespacio, $y = (x + y) + (-x) \in W_1.
Esto es imposible porque se supuso que $y$ estaba en $W_2-W_1$ al principio.

Por lo tanto, debe ser que $x + y \in W_2$, en cuyo caso, como $W_2$ es un subespacio, $x = (x + y) + (-y) \in W_2.
Como $x$ fue arbitrario, $W_1 \subset W_2$ como se deseaba. $\quad \Box$

Answer 5

Toma $V_1$ y $V_2$ como los subespacios de los puntos en el eje x y eje y respectivamente. La unión $W = V_1 \cup V_2$ no es un subespacio ya que no está cerrado bajo la adición. Toma $w_1 = (1,0)$ y $w_2 = (0,1)$. Entonces $w_1, w_2 \in W$, pero $w_1 + w_2 \notin W.