Base de espacio nulo

Question

Deje $V\in\mathbb{R}^{a\times b}$ ser una matriz, que no es una columna completa en la clasificación. A continuación, habrá un nonsingular matriz $H$ tal que $$VH=\left[\begin{array}{cc} V_{1} & 0_{a\times q}\end{array}\right]$$ donde $q$ es la nulidad de $V$. Ahora vamos a $W\in\mathbb{R}^{b\times b}$ ser arbitraria en la plaza de la matriz tal que $\left[\begin{array}{c} V\\ W \end{array}\right]$ is full column rank. Then $$\left[\begin{array}{c} V\\ W \end{array}\right]H=\left[\begin{array}{cc} V_{1} & 0_{a\times q}\\ W_{1} & W_{2} \end{array}\right]$$ donde $W_{2}$ es el total de la columna de rango.

1. Hacer las columnas de a $W_{2}$ forman la base para el espacio nulo de la matriz $V$?
2. Si sí, ¿cómo podemos demostrar que?
3. Si no, ¿qué hacen las columnas de a $W_2$ significan?

Answer 1

Desde $H$ es nonsingular, la ecuación

$$VH = \left[V_1\; 0_{a\times q}\right]$$

significa que la última $q$ columnas de $H$ forman una base del espacio nulo de a $V$. La división de $H = \left[H_1\; H_2\right]$, luego tenemos

$$W_1 = W\cdot H_1\quad \text{ and } \quad W_2 = W\cdot H_2.$$

Si tenemos en cuenta el mapa de $T_W\colon x \mapsto W\cdot x$, vemos que las columnas de a $W_2$ abarcan el espacio de $T_W(\ker T_V)$, y desde $W_2$ total columna de rango, forman una base del espacio (es decir,$\ker T_V \cap \ker T_W = \{0\}$).

En general, el espacio nulo de a $V$ no es invariante bajo $T_W$, así que la respuesta a la primera pregunta

Hacer las columnas de a $W_2$ forman la base para el espacio nulo de la matriz $V$?

es "tal vez, pero probablemente no". Ellos pueden ser la base de cualquier subespacio con la misma dimensión que el espacio nulo de a $V$.

La respuesta a la tercera pregunta

Si no, ¿qué hacen las columnas de a $W_2$ significan?

es como consecuencia de la "nada". Las columnas de $W_2$ puede ser cualquier $q$-tupla de vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^b$. La matriz de importancia es $H$, en particular en la $H_2$, cuyas columnas son una base del espacio nulo de a $V$.