Soluciones integrales positivas de$3^x+4^y=5^z$

Question

¿Hay más soluciones integrales para$3^x+4^y=5^z$, que$x=y=z=2$?

Si no, ¿cómo puedo mostrar eso? Podría mostrar eso para$3^x+4^x=5^x$, ¿pero estoy atascado en el caso general? ¿Alguna idea, tal vez gráficos, logaritmos o descenso infinito?

Answer 1

Voy a demostrar que la única solución integral a$3^x+4^y=5^z$$x=y=z=2$.

Prueba. Mirando la ecuación mod $4$, vemos a $3^x\equiv 1\pmod{4}$, o lo que es equivalente, $(-1)^x\equiv 1\pmod{4}$. Esto implica $x=2x_1$ para algunos entero $x_1$. También, mirando la ecuación mod 3, vemos a $5^z\equiv 1 \pmod{3}$, o, equivalentemente,$(-1)^{z}\equiv 1\pmod{3}$. Esto implica $z=2z_1$ para algunos entero $z_1$. Por lo tanto, $$ 2^{2y}=4^{y}=(5^{z_1})^2-(3^{x_1})^2=(5^{z_1}+3^{x_1})(5^{z_1}-3^{x_1}) $$ Por lo tanto, $5^{z_1}+3^{x_1}=2^{s}$$5^{z_1}-3^{x_1}=2^{t}$,$s>t$$s+t=2y$. La solución para $5^{z_1}$$3^{x_1}$, obtenemos $$ 5^{z_1}=2^{t-1}(2^{s-t}+1) \ \ \textrm{ y } \ \ 3^{x_1}=2^{t-1}(2^{s-t}-1) $$ Puesto que el lado izquierdo de igualdades es impar, $t$ debe ser igual a $1$. Deje $u=s-t$. Entonces, la ecuación de $3^{x_1}=2^{t-1}(2^{s-t}-1)$ hace $3^{x_1}=2^{u}-1$. Mirando esta ecuación mod $3$, obtenemos $0\equiv (-1)^{u}-1\pmod{3}$, y por lo $u$ es incluso, decir $u=2u_1$ para algún entero positivo $u_1$. Por lo tanto, $$ 3^{x_1}=(2^{u_1})^{2}-1=(2^{u_1}+1)(2^{u_1}-1) $$ Por lo tanto, $2^{u_1}+1=3^{\alpha}$ $2^{u_1}-1=3^{\beta}$ algunos $\alpha>\beta$. Pero esto da, $3^{\alpha}-3^{\beta}=2$, y, por tanto,$\alpha=1$$\beta=0$. En consecuencia, $u_1=1$, y por lo $u=2$. Esto nos da la única solución de $x=y=z=2$.

Answer 2

Si una versión más sólida de las conjeturas de$abc$ es verdadera, entonces la respuesta a su pregunta es "no" cuando$x,y,z>0$.

Declaración: Si$a+b=c,(a,b)=(a,c)=(b,c)=1,a,b,c>0$ entonces$$c\leq (rad(abc))^2$ $

$rad(n)$ es el producto de los distintos factores primos de$n$.

Bajo la versión sólida de$abc$ conjetura,$5^z<(3\times 2\times 5)^2$, que significa$z\leq 4$, y es fácil verificar los otros casos.

Answer 3

Esta trama podría ayudar. (Un gráfico de la base de registro 5).