Desigualdad probabilística con dos variables aleatorias

Question

El problema:

Dejemos que $\xi,\eta$ sean dos v.r. integrables independientes tales que $\mathsf P\{\xi> 0\} = 1$ y $\mathsf P\{\eta\geq 0\} = 1$ y $$a = \mathsf E[\xi-\eta]>0.$$ Compruebe si $$\lim\limits_{k\to\infty}\mathsf P\{(\xi-\eta)+k\xi\geq y\} = 1$$ para cualquier $y$ .

No puedo demostrar que el límite es $1$ ni encontrar un contraejemplo, por lo que se agradece cualquier ayuda.

Lo que he probado hasta ahora: desde $a>0$ entonces $p = \mathsf P\{\xi-\eta\geq a\}>0$ . Entonces, para un $y$ que tenemos: $$\mathsf P\{(\xi-\eta)+k\xi\geq y\} \geq p\cdot \mathsf P\{a+k\xi\geq y|\xi-\eta\geq a\}$$ pero incluso si $\mathsf P\{a+k\xi\geq y|\xi-\eta\geq a\}\to1$ con $k\to\infty$ no sería suficiente para el problema original.

Answer 1

No creo que la independencia sea necesaria. Ya que $E[\xi-\eta]>0$ , $P(\eta=\infty)=0$ . Así, para casi todos los $\omega$ , por propiedad arquimédica podemos encontrar un número entero $k$ tal que $(k+1)\xi(\omega)\ge \eta(\omega)+y$ .

Por lo tanto, $$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\{(\xi-\eta)+k\xi\ge y\}\right)=1$$ Dado que los eventos en la unión están aumentando en $k$ tenemos $$\lim_{k\to \infty}P\{(\xi-\eta)+k\xi\ge y\}=1$$

Answer 2

Desde $\mathsf{P}\{\xi> 0\} = 1$ tenemos $$\lim_{k\to\infty}\mathsf{P}\left\{\xi>\frac{y+\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|}{k}\right\}=1\tag{1}$$ para cualquier $\epsilon>0$ . Además, La desigualdad de Markov implica que $$\mathsf{P}\left\{\xi-\eta<-\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|\right\}\le\mathsf{P}\left\{|\xi-\eta|>\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|\right\}\le\frac{\epsilon}{2}\tag{2}$$ Tenga en cuenta que $$\begin{align} \mathsf{P}(x+y\ge A+B) &\ge\mathsf{P}(x\ge A\wedge y\ge B)\\ &=\mathsf{P}(x\ge A)-\mathsf{P}(x\ge A\wedge y<B)\\ &\ge\mathsf{P}(x\ge A)-\mathsf{P}(y<B)\tag{3} \end{align}$$ Por lo tanto, dado $\epsilon>0$ , $(1)$ asegura que hay una $k$ para que $$\mathsf{P}\left\{\xi>\frac{y+\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|}{k}\right\}\ge1-\frac{\epsilon}{2}\tag{4}$$ entonces $(2)$ , $(3)$ y $(4)$ rendimiento $$\begin{align} \mathsf{P}\{(\xi-\eta)+k\xi>y\} &\ge\mathsf{P}\{k\xi>y+\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|\}-\mathsf{P}\{\xi-\eta<-\frac{2}{\epsilon}\mathsf{E}|\xi-\eta|\}\\ &\ge1-\epsilon\tag{5} \end{align}$$ Por lo tanto, $(5)$ nos dice que $$\lim_{k\to\infty}\mathsf{P}\{(\xi-\eta)+k\xi>y\}=1$$

Answer 3

Inspirado por la respuesta de Ashok, también derivé límites para la convergencia que también necesito. Solo por si acaso lo pongo aquí como respuesta.

Tomemos $F_\xi$ para ser un c.d.f. de $\xi$ . Considere $$1-\mathsf P\{(\xi-\eta)+k\xi\geq y\} = \mathsf P\{\eta > (k+1)\xi -y\}.$$ Tenemos entonces: $$\mathsf P\{\eta > (k+1)\xi -y\} = \int\limits_0^\infty \mathsf P\{\eta > (k+1)x -y\}\,dF_\xi(x)$$ $$= \int\limits_0^{\frac{y+\sqrt{k+1}}{k+1}} \mathsf P\{\eta > (k+1)x -y\}\,dF_\xi(x)+\int\limits_{\frac{y+\sqrt {k+1}}{k+1}}^\infty \mathsf P\{\eta > (k+1)x -y\}\,dF_\xi(x).$$ El primer término es $\displaystyle{F_\xi\left(\frac{y+\sqrt{k+1}}{k+1}\right)}$ y el segundo lo delimitamos con Desigualdad de Markov : $$\int\limits_{\frac{y+\sqrt {k+1}}{k+1}}^\infty \mathsf P\{\eta > (k+1)x -y\}\,dF_\xi(x)\leq \mathsf E\eta\int\limits_{\frac{y+\sqrt {k+1}}{k+1}}^\infty \frac{dF_\xi(x)}{(k+1)x-y}.$$

Ya que para el denominador tenemos: $(k+1)x-y\geq \sqrt{k+1}$ para todos $x$ en el ámbito de la integración, $$\int\limits_{\frac{y+\sqrt {k+1}}{k+1}}^\infty \mathsf P\{\eta > (k+1)x -y\}\,dF_\xi(x)\leq \frac{\mathsf E\eta}{\sqrt{k+1}}$$ así que $$\mathsf P\{\eta > (k+1)\xi -y\}\leq F_\xi\left(\frac{y+\sqrt{k+1}}{k+1}\right)+\frac{\mathsf E\eta}{\sqrt{k+1}}$$ lo que significa, en particular, que $\mathsf P\{(\xi-\eta)+k\xi\geq y\}\to 1$ con $k\to\infty$ .