Derivadas parciales mixtas son diferentes

Question

Deje $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ se define como

$$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x_1^2 \operatorname{arctan} \left( \frac{x_2}{x_1} \right) - x_2^2 \operatorname{arctan} \left( \frac{x_1}{x_2} \right), & x_1 x_2 \neq 0, \\ 0, & x_1 x_2 = 0. \end{de la matriz} \right.$$

Notación: $D_j f$ significa que la derivada parcial con respecto a la $j$-ésima coordenada.

Me han demostrado que $D_2 D_1 f(0) \neq D_1 D_2 f(0)$.

Mi pregunta: sabemos $f(x) = 0$ siempre $x_1 = 0$ o $x_2 = 0$. Esto implica que $D_1 f(0) = D_2 f(0) = 0$ la aplicación de la definición. Sin embargo, ¿significa esto que $D_1 f(x)$ o $D_2 f(x)$ es igual a cero siempre que $x_1 = 0$ o $x_2 = 0$, en el sentido inclusivo de la "o"?

Yo he usado ese $D_i f$ no es necesariamente cero, a menos que en el origen para demostrar que la mezcla de los parciales son diferentes. Las expresiones para ellos son

$$\begin{align} D_1 f(x) & = 2x_1 \operatorname{arctan} \left( \frac{x_2}{x_1} \right) - x_2, \\ D_2 f(x) & = x_1 - 2x_2 \operatorname{arctan} \left( \frac{x_1}{x_2} \right). \end{align}$$

La aplicación de la definición de nuevo a esto, encontré $D_2 D_1 f(0) = -1$$D_1 D_2 f(0) = 1$.

Answer 1

"A o B cuando C o D" es una confusa declaración. Vamos a mantener las cosas ordenadas:

• Si $f(x_1,0)=0$ todos los $x_1$, $D_1 f(x_1,0) = 0$ todos los $x_1$. De hecho, una vez $x_2$ se fija en $0$, tenemos una función de $x_1$, que pasa a ser idéntica a cero. Por lo tanto, su derivada es idéntica a cero.
• Del mismo modo: si $f(0,x_2)=0$ todos los $x_2$, $D_2 f(0,x_2)=0$ todos los $x_2$.

Por otro lado,

• habiendo $f(x_1,0)=0$ todos los $x_1$ sí no implica la $D_2 f(x_1,0) = 0$.
• habiendo $f(0,x_2)=0$ todos los $x_2$ sí no implica la $D_1 f(0,x_2 ) = 0$.

En ambos casos, la simple función de $x_1x_2$ es un contraejemplo.