He aquí una caracterización de la máxima no discreto de las topologías.
Lema. Deje $\tau$ ser un no-discretas topología en un conjunto $X$, y deje $N=\big\{x\in X:\{x\}\notin\tau\big\}\ne\varnothing$. A continuación, $\tau$ es máxima no discreto iff
- $\tau$ induce la topología discreta en cada una de las $A\in\wp(X)\setminus\tau$, y
- $A\supseteq N$ siempre $A\in\wp(X)\setminus\tau$.
Prueba. Supongamos primero que $\tau$ es máxima no discretas. Deje $A\in\wp(X)\setminus\tau$. Si $\tau_A$ es la topología generada por la subbase $\tau\cup\{A\}$, no es difícil comprobar que $$\tau_A=\big\{U\cup(A\cap V):U,V\in\tau\big\}\;,$$ so every subset of $X$ must be expressible in the form $U\cup(A\cap V)$ for some $U,V\en\tau$. In particular, for each $x\in X$ there must be $U_x,V_x\en\tau$ such that $\{x\}=U_x\cup(A\cap V_x)$. If $\{x\}\in\tau$ we may take $U_x=\{x\}$ and $V_x=\varnothing$; if, however, $\{x\}\notin\tau$, we must have $U_x=\varnothing$ and $A\cap V_x=\{x\}$. Thus, $\tau$ induces the discrete topology on $$.
Supongamos que $A\nsupseteq N$ algunos $A\in\wp(X)\setminus\tau$, y corregir $x\in N\setminus A$. A continuación, $\tau_A$ es estrictamente más fino que el de $\tau$, pero $\{x\}\notin\tau_X$, contradiciendo la maximality de $\tau$.
Ahora supongamos que $\tau$ satisface (1) y (2), vamos a $\tau'$ ser una topología estrictamente más fino que el de $\tau$, y deje $U\in\tau'\setminus\tau$. Por hipótesis de $U\supseteq N$ $\tau$ induce la topología discreta en $U$, lo $\{x\}\in\tau'$ por cada $x\in N$, e $\tau'$ es la topología discreta en $X$. Por lo tanto, $\tau$ es máxima no discretas. $\dashv$
Pero ahora tenemos un fácil
Teorema. Deje $\tau$ ser una topología en un conjunto $X$. A continuación, $\tau$ es máxima no discreto iff $X$ tiene una única no-punto aislado.
Prueba. En la notación de la lema este dice que $\tau$ es máxima no discreto iff $N$ es un singleton. Si $N$ es un singleton, entonces (1) y (2) están muy satisfechos, por lo $\tau$ es máxima no discretas. Supongamos ahora que los hay de distintos $x,y\in N$; a continuación,$\{x\}\in\wp(X)\setminus\tau$, pero $\{x\}\nsupseteq N$, lo $\tau$ no es maximal no discretas. $\dashv$
En Michael Greinecker el ejemplo de la única no-aislado punto es, por supuesto,$y$, y su nbhd filtro es el filtro fijo generado por el conjunto de $\{x,y\}$. Entre los mejores ejemplos son los $\omega+1$ (es decir, una secuencia simple, con su punto límite) y $\{p\}\cup\omega$ cualquier $p\in\beta\omega\setminus\omega$.
(Yo probablemente podría haber hecho esto de manera más sencilla, pero así es como he descubierto el resultado, así que pensé que me gustaría dejar reposar como es.)
Agregado: me di cuenta tardíamente de que estos espacios pueden ser descritos de una forma más precisa. Deje $X$ ser un conjunto con más de un elemento, y corregir $p\in X$. Deje $Y=X\setminus\{p\}$, vamos a $\mathscr{F}$ ser cualquier filtro en $Y$, y deje $\tau=\big\{\{p\}\cup F:F\in\mathscr{F}\big\}\cup\wp(Y)$. A continuación, $\tau$ es una máxima que no discreta de la topología en $X$, y todas las topologías obtenidas de esta manera.
