La teoría de Galois no convencional en Qual

Question

Esto parece ser una rara la pregunta que uno puede ver, en la Qual Álgebra de exámenes, y no creo que si es una sabia elección para poner este tipo de preguntas en lo Qual. Considero que es un duro de la teoría de Galois pregunta, aunque!

Deje $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ser un polinomio de grado $7$ y deje $E$ ser la división de campo de la $f$ $\mathbb{Q}.$ Asume que $\text{Gal}(E/\mathbb{Q}) \cong S_7.$

a) Encontrar el número de intermedios campos $K$ $\mathbb{Q}$ y $E$ tal que $[E:K]=9.$

b) Demostrar que la intersección de todos los campos de $K$ en la parte a) no es igual a $\mathbb{Q}.$

c) Si $\alpha \in E$ es una raíz de $f(x),$ cómo muchos de los intermedios los campos en la parte a) contener $\alpha?$

Answer 1

a) Como he señalado en mi comentario de este problema se reduce a encontrar todos los subgrupos de orden $9$$S_7$. Estos son los subgrupos de sylow. No es difícil ver que cualquiera de los dos disjuntas $3$-los ciclos de generar un subgrupo. Además, dado que todos estos subgrupos se conjugado y la acción por la conjugación en $S_n$ elemento $\sigma$ está dado por $\sigma(123)\sigma^{-1}=(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))$ se sigue que todos los subgrupos de Sylow son generadas por dos disjuntas $3$-ciclos. Ahora la cuenta tenga en cuenta que la elección de la $3$ elementos determina un $3$-ciclo, así tenemos $\binom{7}{3}$ para el primer $3$ ciclo y $\binom{4}{3}$ para el segundo $3$-ciclo. La contabilidad de doble conteo nos deja con $70$ dichos subgrupos.

b) tenga en cuenta que cada Sylow $3$-subgrupo está contenida en $A_7$. De ello se desprende que la intersección de todos los campos en la parte a) contiene el campo fijo de $A_7$.

c) Ahora cada subgrupo generado por dos disjuntas $3$-ciclos, de modo que a la izquierda de un elemento o más bien raíz fija. Así que queremos saber cuántos de estos subgrupos fija de una raíz, entonces tenemos $6$ elementos y $\binom{6}{3}=10$ formas de seleccionar un $3$-ciclo que determina a la otra.