¿Por qué la convergencia a cero en dos normas implica equivalencia?

Question

Deje que$V$ sea un espacio normado con dos normas$f$ y$g$. Demostrar que estas declaraciones son equivalentes:

$\{z_n\}$ tiende a 0 como$n → ∞$ en$f\;\; $$\forall \{z_n\}\in V$

Answer 1

Supongamos que no hay$\alpha$ tal que$\Vert x\Vert_1\le \alpha\Vert x\Vert_2$ para todos$x$. Entonces, por cada$n\in\Bbb N$ hay algunos$x_n$ tales que$\Vert x_n\Vert_1>n\Vert x_n\Vert_2$. Dejar

$$z_n=\frac{x_n}{\sqrt n \Vert x_n\Vert_2}$ $ para$\Vert z_n\Vert_2=\frac1{\sqrt n}\xrightarrow{n\to\infty}0$ wheras$\Vert z_n\Vert_1\ge \sqrt n\xrightarrow{n\to\infty}+\infty$.