¿Cómo resolver esta ecuación diofántica?

Question

¿Alguien puede decir cómo se pueden encontrar soluciones a la ecuación diofántica $$x^3+y^4=z^2$ $ en general? Solo se han encontrado unos pocos triples de números, y lo más probable es que esta ecuación tenga infinitas soluciones.

Ejemplos de triples: $(6,5,29),(2,1,3),(9,6,45)$ ...

Answer 1

Este es un caso de la generalizada de la ecuación de Fermat $$ x^p+y^q=z^r. $$ Para $(p,q,r)=(3,4,2)$ tenemos $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}>1$, que es la esférica caso. Aquí tenemos infinitamente muchos entero de soluciones para este triple. Las soluciones están dadas por un conjunto finito de polinomio parametrisations de la ecuación, consulte el siguiente documento:

F. Beukers, La ecuación de diophantine $Ax^p + By^q = Cz^r$, Duque de Matemáticas.J. 91(1998), de 61 a 88.

Otras referencias: la generalización de La ecuación de Fermat.

Answer 2

Aquí hay una simple parametrización. Tenemos,

PS

dada la ecuación de Pell $$x^4 +(y^2-1)^3 = (y^3+3y)^2$ .

Answer 3

La ecuación de arriba se muestra a continuación tiene la parametrización:

$x^3+y^4=z^2$

La siguiente parametrización no tiene ninguna restricción, tales como la

Ecuación de Pell condición demostrado por Tito Piezas.

$x=(p)^2(-q)^3$

$y=(p)(q)^2(k-1)$

$z=(p)^2(q)^4(2k-3)$

donde, $p=(k-2)$ e $q=(k^2-2)$

Para $k=3$ obtenemos : $(-343)^3+(98)^4=(7203)^2$

Answer 4

"OP", preguntó paramétricos solución para $(x,y,z)=(6,5,29)$ en $x^3+y^4=z^2$

La solución es:

$x=3p^3(8k^2-40k+50)$

$y=p^2(20k^2-104k+135)$

$z=p^4(2k-5)^2(116k^2-540k+621)$

Donde, $p=(4k^2-27)$

Para $k=(13/5)$, se obtiene después de la extracción de factores comunes:

$6^3+5^4=29^2$

Answer 5

"OP", preguntó por entero coefficent para la paramétrico

solución para la ecuación de $(x^2+y^4=z^2)$. "OP" sólo necesita

para sustituir a $k=(m/n)$ en la parametrización y el resultante

la solución después de la eliminación de los factores comunes que se dan a continuación.

$x=6(u^3)(v^2)$

$y=(u^2)(v)(10m-27n)$

$z=(u^4)(v^2)(116m^2-540mn+621n^2)$

Y $u=(4m^2-27n^2)$ & $v=(2m-5n)$

Para $(m,n)=(13,5)$ obtenemos:

$6^3+5^4=29^2$