Encuentra la constante K más pequeña que satisface la desigualdad.

Question

Encuentre la constante más pequeña$K$ que satisface la desigualdad$$x^{1\over 3}+y^{1\over 3} \le K(x+y)^{1\over 3}$ $ La prueba oficial hace que la sustitución sea$a=x^{1\over 3}$ y$b=y^{1\over 3}$, lo que hace que la pregunta sea mucho más sencilla, pero luego simplemente establece ese$K=4^{1\over 3}$ y prueba que esto es cierto. Me preguntaba si alguien sabía cómo se podía determinar este número en lugar de solo saberlo y luego probarlo, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Si establece$x=y$ y convierte la desigualdad en una ecuación, la ecuación dada en$K,x$ tiene la solución$K=4^{1/3}$, para todos$x$.

Entonces este es un buen candidato para una prueba provisional.

Answer 2

Supongo que usted asume$x,y\geq 0$, porque de lo contrario no se mantendrá.

Es obvio que$f(x)=x^{1/3}$ es una función cóncava. La desigualdad de Jensen muestra que: $$ x ^ {1/3} / 2 + y ^ {1/3} / 2 \ leq (x / 2 + y / 2) ^ {1/3} $$ o más bien $$ x ^ {1/3} + y ^ {1/3} \ leq 2 ^ {2/3} (x + y) ^ {1/3} $$ Cuando$x,y\leq 0$,$f(x)=x^{1/3}$ se convierte en un Función convexa y deberíamos tener: $$ x ^ {1/3} + y ^ {1/3} \ geq 2 ^ {2/3} (x + y) ^ {1/3} $$