La probabilidad permanece igual ¿Por qué?

Question

Un cuadro de ha $m$ negro y $n$ bolas blancas. Una bola al azar y se vuelve a poner con $k$ adicional bolas del mismo color que el de la dibujado pelota. Ahora la pelota está dibujado de nuevo. Encontrar la probabilidad de que se trata de una bola blanca.

Tengo la respuesta $\frac{n}{m+n}$.

Sólo quiero entender por qué las cosas no dependen de $k$.

Answer 1

Mira esta probabilidad desde el otro lado. Considere dos distintos eventos. Evento de $B_1$ significa que la segunda bola estaba en la urna desde el principio. Evento de $B_2$ significa que la segunda bola sea sacado de esas bolas que se han añadido a la urna. Evento de $A$ significa que la segunda bola sea blanca. Considere la posibilidad de probabilidades condicionales $\mathbb P(A\mid B_1)$ e $\mathbb P(A\mid B_2)$: $$\mathbb P(A\mid B_1) = \frac{n}{n+m}$$ ya que ninguna bola añadido es tomado en cuenta cuando se $B_1$ sucede. Y también $$\mathbb P(A\mid B_2) = \frac{n}{n+m}.$$ Esta es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca si es seleccionado de $k$ bolas añadido. En otras palabras, esta es la probabilidad de que $k$ blanco se añaden bolas en la urna. Esta es exactamente la probabilidad de que la primera bola blanca.

Ya probabilidades condicionales de $A$ bajo tanto $B_1$ e $B_2$ son los mismos, las probabilidades de $B_1$ e $B_2$ son irrelevantes y $$\mathbb P(A) = \mathbb P(B_1)\frac{n}{n+m}+\mathbb P(B_2)\frac{n}{n+m}=\frac{n}{n+m}.$$ Tenga en cuenta que sólo se $\mathbb P(B_1)$ e $\mathbb P(B_2)$ dependen $k$.