Evaluando la integral$\int_0^{\pi/4}\sqrt{1-16\sin^2(x)}\mathop{}\!\mathrm dx$

Question

¿Cómo podemos evaluar esta integral? $$\int_\limits{0}^{\pi/4}\sqrt{1-16\sin^2(x)}\mathop{}\!\mathrm dx$ $ Probé una sustitución $$u=4\sin x,\quad \mathrm dx=\frac{\mathrm du}{\sqrt{16-u^2}}$ $ por lo tanto, la integración será

$$\int_\limits{u=0}^{u=2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{16-u^2}}\mathop{}\!\mathrm du$ $ Pero no pude completar la solución usando esta sustitución.

Answer 1

\begin{align} \int_{0}^{\pi/4}\,\sqrt{\,{1 - 16\sin^{2}\left(\, x\,\right)}\,}\,\,\mathrm{d}x & = \int_{0}^{\pi/4}\,\sqrt{\,{1 - 4^{2}\sin^{2}\left(\, x\,\right)}\,}\,\,\mathrm{d}x \\[5mm] & = \bbox[10px,#ffd,border:1px groove navy]{\mathrm{E}\left(\,{{\pi \over 4},4}\,\right)} \end{align}

$\displaystyle\mathrm{E}$ es una integral de Legendre .