El operador delimitado desde un espacio de Hilbert a$\ell^1$ es compacto

Question

Deje que$H$ sea cualquier espacio de Hilbert. ¿Cómo podemos probar que cualquier operador lineal acotado$T\colon H \to \ell^1$ es compacto?

Si usamos el hecho de que el espacio$\ell^1$ tiene propiedad Schur (la norma y la convergencia débil son las mismas), entonces necesitamos mostrar que para una secuencia$(x_n) \subset H$ tal que$||x_n|| \leq 1$ la secuencia$(Tx_n) \subset \ell^1$ contiene una subsecuencia débilmente convergente. Pero no sé cómo debo hacer esto.

¿Qué propiedad de los espacios de Hilbert necesito usar?

Answer 1

En primer lugar, podemos suponer $H$ es separable, ya que cualquier secuencia en la $H$ está contenida en un cerrado separable subespacio.

Debido a $\ell^1$ tiene la propiedad de Schur, sólo tenemos que mostrar que para cada $x_n$ en la bola unidad cerrada de $H$, $Tx_n$ ha débilmente convergente larga. Puesto que para cada $f \in {\ell^1}^*$, $fT$ es una funcional lineal continua en $H$, es suficiente para demostrar que $x_n$ ha débilmente convergente larga. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que la bola unidad cerrada de $H$ es débilmente secuencialmente compacto. Desde $H$ es auto-dual y separables, la secuencia de Banach-Alaoglu teorema nos dice exactamente lo que queremos.