Aquí Prob. 9, 18 Segundos en la Topología de James R. Munkres, 2ª edición:
Deje $\{ A_\alpha \}$ ser una colección de subconjuntos de a $X$; deje $X = \bigcup_\alpha A_\alpha$. Deje $f \colon X \to Y$: supongamos que $f | A_\alpha$ es continua para cada una de las $\alpha$.
(a) Demostrar que si la colección de $\{A_\alpha \}$ es finito y cada conjunto $A_\alpha$ está cerrada, $f$ es continua. [ Me las he arreglado para mostrar esto! ]
(b) Encontrar un ejemplo donde la colección de $\{ A_\alpha \}$ está contables y cada una de las $A_\alpha$es cerrado, sino $f$ no es continua. [Ejemplo encontrar fácilmente!]
(c) Una familia indizada de conjuntos de $\{ A_\alpha \}$ se dice localmente finito si cada punto de $x$ $X$ tiene un nieghborhood que se cruza con $A_\alpha$ por sólo un número finito de valores de $\alpha$. Demostrar que si la familia $\{ A_\alpha \}$ es localmente finito y cada una de las $A_\alpha$ está cerrada, $f$ es continua.
Es la parte (c) que los tocones de mí.
Deje $B$ ser un conjunto cerrado en $Y$. Tenemos que mostrar que $f^{-} (B)$ es cerrado en $X$. Deje $A \colon= f^{-1}(B)$. Entonces $$A = \bigcup_\alpha \left( f | A_\alpha \right)^{-1} (B).$$ Ahora desde $f | A_\alpha$ es continua para cada una de las $\alpha$, cada conjunto $\left( f | A_\alpha \right)^{-1} (B)$ es cerrado en $A_\alpha$ y por lo tanto es cerrado en $X$.
Supongamos que $x \in X - A$. A continuación, $x$ tiene un vecindario $U$ (es decir, un conjunto abierto $U$ contiene $x$) que se cruza con sólo un número finito de los conjuntos de la colección de $\{A_\alpha \}$. Deje $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ ser los valores de los índices de $\alpha$ que $U$ se cruza con el de los conjuntos de $A_\alpha$.
Desde $x \not\in A$, por lo $x \not\in \left( f | A_\alpha \right)^{-1} (B)$ cualquier $\alpha$. Por lo $\left( f|A_\alpha \right) (x) \not\in B$ cualquier $\alpha$.
Pero como $X = \bigcup_\alpha A_\alpha$, lo $x \in A_\alpha$ algunos $\alpha$, y por lo $f(x) = \left( f|A_\alpha \right) (x) $ algunos $\alpha$. Pero $x$ sólo puede pertenecer a uno de los conjuntos de $A_{\alpha_1}, \ldots, A_{\alpha_n}$. Por lo $f(x) = \left( f | A_{\alpha_i} \right) (x)$ algunos $i \in \{ i , \ldots, n\}$.
Por lo tanto podemos concluir que el $f(x) \not\in B$.
Deje $S_i \colon= \left( f | A_{\alpha_i} \right)^{-1} (B)$. A continuación, $x \not\in S_i$ cualquier $i$. Dado que los conjuntos de $\left( f | A_{\alpha_i} \right)^{-1} (B)$ están cerrados en $X$, podemos concluir que, para cada una de las $i$, el punto de $x$ tiene un vecindario $U_i$ tal que $U_i \cap S_i = \emptyset$.
Deje $V \colon= U \cap U_1 \cap \ldots \cap U_n$. A continuación, $V$ es un barrio de $x$ e si $v \in V$,$v \in U$, de modo que $v \in A_{\alpha_i}$ sólo para algunos $i = 1, \ldots, n$$v \in U_i$, de modo que $v \not\in S_i$ cualquier $i = 1, \ldots, n$.
También, a continuación, $v \not\in A_\alpha$ cualquier $\alpha \neq \alpha_1, \ldots, \alpha_n$.
Es mi razonamiento hasta el momento correcto? Cómo mostrar, a partir de aquí que $v \not\in A$?
