¿El hecho de que todos los subgrupos generados por dos sean nilpotentes implica que el propio grupo es nilpotente?

Question

Es trivial que un grupo $G$ es abeliano si y sólo si cada subgrupo de $G$ con dos generadores es abeliano (es decir, dos elementos cualesquiera conmutan).

Si $G$ es un grupo nilpotente, todo subgrupo con dos generadores debe ser nilpotente. ¿Es cierto lo contrario? Más precisamente:

Dejemos que $G$ sea un grupo y supongamos que todo subgrupo de $G$ generado por dos elementos es nilpotente (con clase uniformemente acotada si es necesario). Es $G$ ¿es necesariamente nilpotente?

Answer 1

Cuando $G$ es finito la respuesta es "sí", ya que dos elementos cualesquiera de orden coprimo se conmutan, por lo que un Sylow $p$ -es normal para cada divisor primo $p$ del orden del grupo. Cuando $G$ es infinito, no lo sé, pero otros podrían. Cada elemento de $G$ es ciertamente un elemento de Engel, pero hay grupos no nilpotentes en los que cada elemento es un elemento de Engel, (construidos, por ejemplo, por P.M. Cohn).

Answer 2

Si no exigimos que la clase de un subgrupo generado por dos elementos esté limitada por alguna constante fija, he aquí un ejemplo.

Consideremos la suma directa infinita $G = G_1 \oplus G_2 \oplus G_3 \oplus \cdots$ donde $G_i$ es nilpotente de clase $i$ .

Entonces $G$ no es nilpotente, ya que tiene subgrupos nilpotentes de clase arbitrariamente grande. Pero cualquier subgrupo finitamente generado de $G$ está contenida en $G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n$ para algunos $n$ y este subgrupo es nilpotente de clase $n$ . En particular, cualquier subgrupo generado por dos elementos es nilpotente.