¿Cómo resolver esta ecuación?

Question

Resuelve la ecuación$$\cos \left(x+30^{\circ}\right)+\cos \left(x+10^{\circ}\right)=\cos \left(2x+10^{\circ}\right)+\cos 10^{\circ}$$ , where $ x \ in (0, \ pi) $

Mi intento:$$\cos{(x+30)}+\cos{(x+10)}=2\cos{(x+20)}\cos{10}$ $

y$$\cos{(2x+10)}+\cos{10}=2\cos{(x+10)}\cos{x}$ $ entonces$$\cos{(x+20)}\cos{10}=\cos{(x+10)}\cos{x}$ $

entonces no puedo trabajar, gracias

Answer 1

Creo que es excesivamente difícil de resolver esta ecuación como ésta en una forma estándar, ya que no pueden sacar algún factor común.

Así, he tratado de establecer uno de coseno plazo $=0$ en un lado y de verificación. Finalmente el otro lado tendrá que ser de la forma $\cos y=2\cos60^\circ\cos y=\cos(60^\circ-y)+\cos(60^\circ+y)$

Por ejemplo,

si establecemos $\cos(x+30^\circ)=0, x+30^\circ=(2n+1)90^\circ\iff x=180^\circ n+60^\circ,$ donde $n$ es cualquier entero

Observar que $x=360^\circ m+60^\circ$ satisface la ecuación dada, donde $m$ es cualquier entero

Compruebe $\cos(x+10^\circ)=0$ $\cos(2x+10^\circ)=0$

Me han validado de Wolfram Alpha que $40^\circ,60^\circ$ son las únicas dos soluciones dentro de $(0,\pi)$