Integrales tipo Duo Fresnel $(??)$

Question

Me pregunto cómo puedo demostrar las siguientes integrales.

$$\int_0^\infty \sin ax^2\cos 2bx\, dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}-\sin\frac{b^2}{a}\right)$$

y

$$\int_0^\infty \cos ax^2\cos 2bx\, dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}+\sin\frac{b^2}{a}\right)$$

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He intentado $\sin ax^2=\Im(e^{iax^2})$ y $\cos ax^2=\Re(e^{iax^2})$ entonces utilicé el método por partes pero fallé. Evidentemente la sustitución del medio ángulo tangente no funciona. Estoy seguro de que si se puede calcular una de ellas, se puede utilizar la misma técnica para calcular la otra. Podría alguien ayudarme a calcular las integrales preferiblemente ( si es posible ) con formas elementales (métodos de la escuela secundaria)? Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Compáralos juntos:

Añadir $i$ por la primera integral y la segunda, para obtener

$$\int_0^\infty e^{iax^2}\cos (2bx)\,dx.$$

El integrando es par, por lo que es

$$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{iax^2}\cos (2bx)\,dx.$$

$\sin$ es impar, por lo que la integral de $e^{iax^2}\sin (2bx)$ desaparece, por lo que obtenemos

$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty e^{iax^2}e^{2bix}\,dx.$$

Completa el cuadrado del exponente para obtener

$$\frac{1}{2} e^{-ib^2/a} \int_{-\infty}^\infty e^{i(\sqrt{a}x + b/\sqrt{a})^2}\,dx.$$

Sustituir $y = \sqrt{a}x + b/\sqrt{a}$ y se obtiene

$$\frac{1}{2\sqrt{a}} e^{-ib^2/a} \int_{-\infty}^\infty e^{iy^2}\,dy.$$

La última integral tiene las integrales de Fresnel estándar como partes real e imaginaria, por lo que su valor es $(1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ y en total obtenemos

$$\int_0^\infty \cos (ax^2)\cos (2bx)\,dx + i\int_0^\infty \sin (ax^2)\cos (2bx)\,dx = \frac{1}{2\sqrt{a}}e^{-ib^2/a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}(1+i).$$

Separar el lado derecho en parte real e imaginaria.

Answer 2

Observe que $\mathbb{sin}A \mathbb{cos}B = \frac{1}{2}(\mathbb{sin}(A+B)+\mathbb{sin}(A-B))$ . También hay que tener en cuenta que $ax^2+bx=(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}})^2-\frac{b^2}{4a}$ y $ax^2-bx=(\sqrt{a}x-\frac{b}{2\sqrt{a}})^2-\frac{b^2}{4a}$ . Obtendrás dos integrales de Fresnel en las que tendrás que hacer los cambios de variables $\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}=y$ y $\sqrt{a}x-\frac{b}{2\sqrt{a}}=y$ respectivamente.

Para la segunda integral utiliza que $\mathbb{cos}A \mathbb{cos}B = \frac{1}{2}(\mathbb{cos}(A+B)+\mathbb{cos}(A-B))$ y volver a hacer los cálculos anteriores. (Por supuesto, estoy asumiendo $a>0$ .)