En el La paradoja del sobre el jugador 1 escribe dos números diferentes cualesquiera $a< b$ en dos trozos de papel. A continuación, el jugador 2 extrae uno de los dos papelitos con la probabilidad $\frac 12$ , mira su número $x$ y predice si $x$ es el mayor o el menor de los dos números.
En principio, parece que ninguna estrategia del jugador 2 puede lograr un porcentaje de éxito mayor que $\frac 12$ . Pero, de hecho, hay una estrategia que lo hará.
La estrategia es la siguiente: El jugador 2 debe seleccionar primero alguna distribución de probabilidad $D$ que es positivo en todas partes de la línea real. (Una distribución normal será suficiente.) A continuación, debe seleccionar un número $y$ al azar según la distribución $D$ . Es decir, su selección $y$ debe estar en el intervalo $I$ con una probabilidad exacta de $$\int_I D(x)\; dx.$$ Los métodos generales para hacerlo son sencillos; métodos para hacerlo cuando $D$ es una distribución normal están bien estudiados.
El jugador 2 saca ahora una papeleta al azar; que el número que aparece en ella sea $x$ . Si $x>y$ el jugador 2 debería predecir que $x$ es el número mayor $b$ ; si $x<y$ debería predecir que $x$ es el número más pequeño $a$ . ( $y=x$ ocurre con probabilidad 0 y se puede despreciar, pero si se insiste, entonces el jugador 2 puede lanzar una moneda en este caso sin afectar la expectativa de la estrategia).
Hay seis situaciones posibles, dependiendo de si el deslizamiento seleccionado $x$ es en realidad el número más pequeño $a$ o el número mayor $b$ y si el número aleatorio $y$ seleccionado por el jugador 2 es menor que ambos $a$ y $b$ mayor que ambos $a$ y $b$ o en el medio $a$ y $b$ .
La siguiente tabla muestra la predicción realizada por el jugador 2 en cada uno de los seis casos; esta predicción no depende de si $x=a$ o $x=b$ , sólo en el resultado de su comparación de $x$ y $y$ :
$$\begin{array}{r|cc} & x=a & x=b \\ \hline y < a & x=b & \color{blue}{x=b} \\ a<y<b & \color{blue}{x=a} & \color{blue}{x=b} \\ b<y & \color{blue}{x=a} & x=a \end{array} $$
Por ejemplo, la entrada superior izquierda dice que cuando el jugador 2 saca el menor de los dos números, por lo que $x=a$ y selecciona un número aleatorio $y<a$ , compara $y$ con $x$ , ve que $y$ es menor que $x$ y por lo tanto predice que $x$ es el mayor de los dos números, que $x=b$ . En este caso se equivoca. Los elementos en texto azul son correcto predicciones.
En la primera y tercera filas, el jugador 2 consigue un éxito con probabilidad $\frac 12$ . En la fila del medio, la predicción del jugador 2 es siempre correcta. Por lo tanto, la probabilidad total de que el jugador 2 acierte una predicción es $$ \frac12 \Pr(y < a) + \Pr(a < y < b) + \frac12\Pr(b<y) = \\ \frac12(\color{maroon}{\Pr(y<a) + \Pr(a < y < b) + \Pr(b<y)}) + \frac12\Pr(a<y<b) = \\ \frac12\cdot \color{maroon}{1}+ \frac12\Pr(a<y<b) $$
Desde $D$ fue elegida para ser positiva en todas partes, la probabilidad del jugador 2 $$\Pr(a < y< b) = \int_a^b D(x)\;dx$$ de seleccionar $y$ entre $a$ y $b$ es estrictamente mayor que $0$ y su probabilidad de hacer una predicción correcta es estrictamente mayor que $\frac12$ por la mitad de esta cantidad estrictamente positiva.
Este análisis apunta a la estrategia del jugador 1, si quiere minimizar las posibilidades de éxito del jugador 2. Si el jugador 2 utiliza una distribución $D$ que es idénticamente cero en algún intervalo $I$ y el jugador 1 lo sabe, entonces el jugador 1 puede reducir la tasa de éxito del jugador 2 a exactamente $\frac12$ eligiendo siempre $a$ y $b$ en este intervalo. Si la distribución del jugador 2 es positiva en todas partes, el jugador 1 no puede hacer esto, incluso si sabe $D$ . Pero la distribución del jugador 2 $D(x)$ debe necesariamente acercarse a cero a medida que $x$ se vuelve muy grande. Dado que la ventaja del jugador 2 sobre $\frac12$ es $\frac12\Pr(a<y<b)$ para $y$ elegido de la distribución $D$ el jugador 1 puede limitar la posibilidad de éxito del jugador 2 a menos de $\frac12 + \epsilon$ para cualquier positivo dado $\epsilon$ eligiendo $a$ y $b$ suficientemente grandes y cercanas entre sí. E incluso si el jugador 1 no sabe $D$ debería todavía elija $a$ y $b$ muy grandes y muy juntos.
He oído atribuir esta paradoja a Feller, pero me temo que no tengo una referencia.
[ Adenda 2014-06-04: Pedí aquí una referencia y se le contestó: la fuente es Thomas M. Cover " Elige el mayor número " Problemas abiertos en comunicación y computación Springer-Verlag, 1987, p152. ]
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Quizá quieras hacer un curso de introducción a la teoría de los juegos. El resultado es muy típico en los juegos donde los jugadores juegan entre sí (no cooperativo), es decir, el ordenamiento de los resultados de ambos jugadores no está alineado. Entonces verá que, con bastante frecuencia, una mezcla de estrategias con probabilidades domina a una mezcla de estrategias en la que se juega con certeza. Si su departamento de Matemáticas no ofrece uno, consulte el de Economía.