Calcular la derivada de la integral.

Question

La integral es

PS

Estoy atascado en dónde empezar. Creo que tengo que usar el teorema fundamental del cálculo, sin embargo no estoy seguro de cómo empezar.

Answer 1

Deje$F(x) = \int_0^x \cos(t)^3dt$ y deje$g(x)=\frac{47}{x}$. Entonces podemos ver que:

PS

Ahora use la regla de la cadena para ver:$$ \int_0^{47 \over x}\cos(t)^3dt=F(g(x))$ $

Finalmente, note que por el teorema fundamental del cálculo,$$(F(g(x)))'=F'(g(x))g'(x)$.

Ya que$F'(x)=\cos(x)^3$, podemos juntar todo esto para ver:

PS

Answer 2

Sugerencia :$u = \dfrac{47}{x}$, y es sencillo ahora desde$F'(x) = F'(u)\cdot \dfrac{du}{dx}, F(u) = \displaystyle \int_{0}^u \cos^3 tdt $.

Answer 3

La manera rápida de resolver problemas como estos es por el uso de una especie de "plantilla". Tomaremos $g(x)=\cos^3(x)$ y hacer lo siguiente:

$$g\left(\frac{47}{x}\right)\cdot \left(\text{derivative of }\frac{47}{x}\right)-g(0)\cdot \left(\text{derivative of }0\right)=$$

La única cosa que usted necesita para calcular ahora son los derivados de la $\frac{47}{x}$ $0.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \left(\frac{47}{x}\right) = \frac{-47}{x^2} $$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\; 0 = 0 $$

Ahora vamos a enchufe en nuestra plantilla!

$$g\left(\frac{47}{x}\right)\cdot \left(\frac{-47}{x^2}\right)-g(0)\cdot 0 $$

Vamos a sub en la función original en lugar de escribir "$g$" cada vez y nos quedamos con:

$$\frac{-47}{x^2}\cos^3\left(\frac{-47}{x}\right) $$

Sólo recuerde la plantilla y usted debería ser capaz de resolver estos tipos de preguntas con relativa facilidad.

Answer 4

Use diferenciales \begin{equation} \frac{d\big(\frac{47}{x} \big)}{dx} = -\frac{47}{x^2} \iff \frac{-x^2d\big(\frac{47}{x} \big)}{47} = dx \end {equation} Conectando esto nuevamente a la integral y usando el teorema fundamental del cálculo (parte 1) \begin{align} \frac{d}{dx} \int_0^{\frac{47}{x}} \cos^3 (t)dt &= \frac{d}{\frac{-x^2d\big(\frac{47}{x} \big)}{47}} \int_0^{\frac{47}{x}} \cos^3 (t)dt\\ &= \frac{-47}{x^2} \frac{d}{d\big(\frac{47}{x} \big)} \int_0^{\frac{47}{x}} \cos^3(t)dt\\ &= \frac{-47}{x^2}\cos^3\left(\frac{47}{x}\right) \end {align}

Answer 5

Llamar a$$u(x) = \frac{47}{x}\;.$ $

Considere$F$ tal que$$\frac{\mathrm dF}{\mathrm dx} = f(x) = \cos^3(x)\;.$ $

Entonces \begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{0}^{u(x)} f(t) \mathrm dt &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(F(u(x)) - F(0)) \\& = \frac{\mathrm dF}{\mathrm du}\;\frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \\&= f(u)\left(\frac{-47}{x^2}\right) \\& = \frac{-47\cos^3\left(\frac{47}{x}\right)}{x^2}\;.\end {align}