¿Existe un conjunto conectado abierto en el plano complejo en el que la función identidad tiene una raíz cuadrada analítica pero no un logaritmo analítico?
Supongamos que $U \subseteq \mathbb{C}$ es un conjunto abierto conectado en el que se puede definir una raíz cuadrada analítica. Entonces se deduce fácilmente que $U$ no puede contener el origen, y toda curva cerrada en $U$ debe tener incluso número de bobinado alrededor del origen. Pero cualquier curva cerrada en el plano con número de devanado no nulo alrededor del origen contiene en su imagen una curva cerrada simple con número de devanado uno alrededor del origen, por lo que $U$ no puede tener ninguna curva cerrada con un número de enrollamiento distinto de cero alrededor del origen, y por lo tanto existe un logaritmo analítico en $U$ .
Ver también esta pregunta .
"... cualquier curva cerrada en el plano con número de devanado no nulo alrededor del origen contiene en su imagen una curva simple cerrada con número de devanado uno alrededor del origen ..." - I piense en eso está intuitivamente claro para mí, pero ¿podría dar una pista de cómo demostrarlo rigurosamente?
Acabo de darme cuenta de que la solución a mi pregunta es fácil: es una consecuencia de la demostración del Teorema del Mapa de Riemann. Por ejemplo podemos tomar w_0=0 en la demostración de ese teorema en el Análisis Real y Complejo de Rudin. Así, la región es necesariamente simplemente conectada.
Retiro mi último comentario. El teorema del mapa de Riemann requiere la existencia de raíces cuadradas para todas las funciones holomorfas que no tienen ceros. No entiendo el argumento de Jim Belk. Aparte de la cuestión planteada por Martin, tampoco entiendo el último paso del argumento de Jim.
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Si tengo un logaritmo analítico puedo definir una raíz cuadrada analítica a partir de él. Lo que pido es lo contrario. Una raíz cuadrada analítica no me da un logaritmo analítico de forma sencilla.
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La pregunta ha sido respondida aquí math.stackexchange.com/q/2624819/42969 ¿es correcto?
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@MartinR Tienes razón. La respuesta de David Ullrich es correcta.