Conocemos la identidad de la polarización en el espacio interior del producto: $$ \langle x,y \rangle = \frac {1}{4} (\|x+y\|^2-\|x-y\|^2) + \frac {i}{4} (\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2) $$ Pero la pregunta es si tenemos $(X,\| \cdot\ |)$ es el espacio normalizado y la función $f$ definido por : $$f(x,y)= \frac {1}{4} (\|x+y\|^2-\|x-y\|^2) + \frac {i}{4} (\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2)$$ ¿cómo puedo probar que $f$ es la función interna del producto sin usar la identidad de la polarización (quiero decir que sólo puedo usar las propiedades de la norma para probar $f$ es la función del producto interno)
Respuesta
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No todo espacio normalizado proporcionará un producto interno, porque hay espacios normalizados que no son prehilbert. El punto adicional a satisfacer es la ley del paralelogramo. El resultado que se necesita es sólo el Teorema de Jordan-Von Neumann .
