Considera el siguiente número:
$x=0.01001000100001...$
(el número de ' $0$ ' entre ' $1$ aumenta linealmente)
dada por la suma
$$x=\sum_{i=1}^\infty 10^{-i - i (1 + i)/2}$$
Mi pregunta es si este número (o más generalmente, los números generados por esta técnica), son racionales o irracionales, y cuál es el esquema de la prueba.
Un número dado en decimal (o cualquier $n$ -representación primaria que no sea $n=1$ ) es racional si, y sólo si, su representación contiene un bloque que a partir de algún punto se repite indefinidamente. El número que describes claramente no puede contener ningún bloque que se repita, por lo que es irracional.
Tal vez se podría mencionar que si se espacia más drásticamente sus $$ \sum_{i=1}^{\infty} 10^{- i!} $$ se obtiene El número de Liouville que es trascendental sobre los racionales.
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