Deje $(x,y) \in \Bbb R^+$ Demostrar que $\Bigr(1+\frac{1}{x}\Bigl)\Bigr(1+\frac{1}{y}\Bigl)\ge \Bigr(1+\frac{2}{x+y}\Bigl)^2$

Question

Deje $(x,y) \in \Bbb R^+$ Demostrar que $$\Bigr(1+\frac{1}{x}\Bigl)\Bigr(1+\frac{1}{y}\Bigl)\ge \Bigr(1+\frac{2}{x+y}\Bigl)^2$$

Mi pruebe

Bueno, yo no veo una manera de factorizar este, por lo que se puso en WolframAlpha y conseguí que podemos reescribir como este, que es obviamente cierto para $(x,y) \in \Bbb R^+$:

$$\frac{(y-x)^2(x+y+1)}{xy(x+y)^2}\ge 0$$

Pero no veo la forma de llegar de forma manual, estoy atascado aquí:

$$\frac{(x+y)(y+1)}{xy}\ge \frac{(x+y+2)^2}{(x+y)^2}$$

Answer 1

Escribir $a=1/x>0$$b=1/y>0$. Así que tenemos que demostrar $$(1+a)(1+b)\geq (1+{2ab\over a+b})^2$$ o $$(a+b)^3+ab (a+b)^2\geq 4ab(a+b)+ 4a^2b^2$$ o $$(a+b)^2(a+b+ab)\geq 4ab(a+b+ ab)$$ o (ya que $a+b+ab>0$) $$(a+b)^2\geq 4ab$$ lo cual es cierto.

Answer 2

Es equivalente a $$\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{1}{y}\right) \geq \log\left(1+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}\right)$$ es decir, en un nivel medio-convexidad de $f(z)=\log\left(1+\frac{1}{z}\right)$$\mathbb{R}^+$. Sigue simplemente de la convexidad, y convexidad es una consecuencia de la $f''(z)=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{(z+1)^2}>0$.

Answer 3

Es sólo Jensen por $f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$.

De hecho, $f''(x)=\frac{(2x+1)}{x^2(x+1)^2}>0$ y obtenemos $$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2}\geq\ln\left(1+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}\right),$$ cual es su desigualdad.

También, es $$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\geq1+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{(x+y)^2},$$ que es cierto por C-S $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{(1+1)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}$$ y AM-GM $$\frac{1}{xy}\geq\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}=\frac{4}{(x+y)^2}.$$

Answer 4

es sólo $AM-GM$ la multiplicación se obtiene $$(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{x}+\frac{(x+y)^2}{y}+\frac{(x+y)^2}{xy}\geq (x+y)^2+4+4(x+y)$$ y esto es $$xy(x+y)^2+y(x+y)^2+x(x+y)^2+(x+y)^2\geq xy(x+y)^2+4xy+4xy(x+y)$$ $$(x+y)^3+(x+y)^2\geq 4xy+4xy(x+y)$$ y esto es $$(x+y)^2(x+y+1)\geq 4xy(x+y+1)$$

Answer 5

Desde $\mathbb R^+×\mathbb R^+$ es convexa, y el problema es simétrico en $x$$y$, el mínimo de $$(1+\frac1x)(1+\frac1y)-(1+\frac2{x+y})^2$$ occurs when $x=y$...

Si $x=y$ obtenemos $$(1+\frac1x)(1+\frac1x)-(1+\frac2{2x})^2=0$$ ...

Se trata de un mínimo, ya que por ejemplo, $(1,2)$ da $3-\frac53=\frac43\gt 0$...