Probar que si $5^n$ comienza con $1$, $2^{n+1}$ también comienza con $1$

Question

Probar que si $5^n$ comienza con $1$, $2^{n+1}$ también comienza con $1$ donde $n$ es un entero positivo.

En orden para un entero positivo $k$ a comenzar con un $1$, tenemos $10^m \leq k < 2 \cdot 10^m$ para algún entero positivo $m$. Por lo tanto desde $5^n$ comienza con un $1$, $10^m \leq 5^n < 2 \cdot 10^m$ para algún entero positivo $m$. Luego multiplicando por $\dfrac{2^{n+1}}{5^n}$ obtenemos $10^m \cdot \dfrac{2^{n+1}}{5^n} \leq 2^{n+1} < 10^m \cdot \dfrac{2^{n+2}}{5^n}$, pero yo no veo cómo esto ayudó.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que las desigualdades deben ser estrictas, como no podemos tener a $5^n = 10^m$ para los números naturales $n,m$. Desde $10^m = 2^m5^m$, su última ecuación se convierte en $$2^{n+m+1}5^{m-n} < 2^{n+1} < 2^{n+m+2}5^{m-n}$$ $$\implies 2^{1+2n}10^{m-n} < 2^{n+1} < 2\cdot 2^{1+2n}10^{m-n}$$ Dividiendo cada término por $2^{1+2n}$ nos da $$10^{m-n} < 2^{-n} < 2\cdot 10^{m-n} $$ Tomando el recíproco de cada término, $$10^{n-m} > 2^n > \frac 1 2 10^{n-m} $$ Finalmente, multiplicando por $2$ nos da $$2\cdot 10^{n-m} > 2^{n+1} > 10^{n-m}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que:

$$2\cdot10^n=5^n\cdot 2^{n+1}$$

Si $5^n$ comienza con $1$

$$10^m<5^n<2\cdot10^m\to10^m< \frac{2\cdot10^n}{2^{n+1}}<2\cdot10^m$$

lo que nos dan

$$2^{n+1}< 2\cdot 10^{n-m}\text{ and } 2^{n+1}>10^{n-m}\Leftrightarrow 10^{n-m}<2^{n+1}<2\cdot 10^{n-m}$$

Answer 3

$10^m < 5^n < 2*10^m$ [Nota: la igualdad no puede contener $5^n$ no tiene ningún factor de $2$.]

$10^m < \frac {10^n}{2^n} < 2*10^m$

$1 < \frac {10^{n-m}}{2^n} < 2$

$2^n < 10^{n-m} < 2^{n+ 1}$

Por lo $10^{k} < 2^{n+1}$$k = n-m$.

...

Y $2^m5^m < 5^n < 2^{m+1} 5^m$

$2^{n+1}5^m < 2^{n-m + 1}5^n$

$2^{n+ 1} < 2^{n-m+1}5^{n-m}$

$2^{n+1} < 2*10^{n-m}$

Por lo $2^{n+1} < 2*10^k$ $k = n-m$

Por lo $10^k < 2^{n+1}< 2* 10^k$.

Por lo $2^{n+1}$ tiene un primer dígito de $1$.