¿Cómo estos dos se retorcía funciones, $F(x)(f)=f(x)$$\mathscr{F}(f)=(x\mapsto (t\mapsto f(t)(x)))$, en el trabajo?

Question

Primero: yo no he tomado un análisis funcional curso, así que por favor tenga esto en cuenta a la hora de explicar. Yo más bien al azar lea acerca de esto, y empezó a interesarme.

Estoy teniendo problemas para entender cómo los siguientes retorcida asignaciones de trabajo. No quiero dar más detalles de lo necesario; sólo el plano de la explicación de que las funciones que llevará a que el espacio y por qué tiene sentido para definir la asignación en la forma en que son definidas (tal vez como un diagrama en palabras) y así sucesivamente.

1) En esto de la Wikipedia artículo fue mencionado, que no es natural mapa de $F$ a partir de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ $V''$(el doble del doble, lo que significa que el espacio de todos los funcionales lineales que tienen en sí mismos lineal funcionales como argumentos y valores de retorno de $F$, si la he entendido bien ), por $F(x)(f)=f(x)$.

(La notación $F(x)(f)$ implicaría que $F(x)$ es en sí mismo una función que recibe como argumento de otra función $f$. Pero lo que sería el dominio y el rango de esta $f$ ? Y ¿por qué tiene sentido para asignar el valor de $F(x)(f)$$f$$x$)

2) pregunta Similar (tal vez más difícil), que se encuentran en estos conferencia de notas,página 61 inferior: Vamos a $I$ ser compacto y $E,F$ espacios de Banach y considerar la asignación de $\mathscr{F}:C(I,L(E,F)) \rightarrow L(E,C(I,F))$ definido por $\mathscr{F}(f)=(x\mapsto (t\mapsto f(t)(x)))$. Ahora entiendo que a $f$ hay un mapa asociado, vamos a llamarlo $\mathscr{G}:E \rightarrow C(I,F)$, de tal manera que $\mathscr{G} (x)$ es un mapa continuo de $I$ a $F$, $t\mapsto f(t)(x)$. Pero lo que no entiendo es, ¿por qué el autor dice que esta asignación simula el cambio de variables.Si lo hizo, ¿por qué las restricciones para trabajar en el espacio de continua respectivamente lineal mapas tenía que imponerse? Y ¿por qué esta (última) asignación de $I$ $F$toma el valor de $f(t)(x)$ ?

Answer 1

1. $V$ es un espacio vectorial; $V^*$ es el doble. Así, los elementos de $V^*$ son funciones $\mathbf{f}\colon V\to K$ ($K$ el campo). El doble doble de la $V^{**}$ es el doble de $V^*$, por lo que los elementos de $V^{**}$ funciones $\mathbf{x}$ dominio $V^*$ y el rango de $F$; es decir, $\mathbf{x}\colon V^*\to K$.

   Desde $F$ es una función de un espacio vectorial $V$ a el doble doble de la $V^{**}$, lo que significa que para cada vector $x\in V$, $F(x)$ es en $V^{**}$. Por lo $F(x)$ es una función cuyo dominio es $V^*$ y cuyo rango es de $K$. Si $\mathbf{f}\in V^*$, $[F(x)](\mathbf{f})$ (es decir, la función cuyo nombre es "$F(x)$" evaluado en $\mathbf{f}\in V^*$) es un escalar. Ahora, $\mathbf{f}$ es en sí misma una función con dominio de $V$ e imágenes en $K$, lo $\mathbf{f}(x)$ "hace sentido" (estamos evaluando una función con dominio de $V$ a un elemento de $V$), y de hecho es un escalar. Así que puede definir $[F(x)](\mathbf{f})$$\mathbf{f}(x)$, debido a que ambos lados son escalares, que es lo que el valor de $F(x)$ a un elemento de $V^*$ tiene que ser.

   Añadido. Todavía parece existir cierta confusión aquí, así que vamos a asegurarnos de que todo funciona de forma explícita aquí. Ahora hemos visto que, de hecho, la fórmula de "sentido" en que ambos lados son lo que deberían ser: escalares. Ahora, ¿por qué definir una función lineal de$V$$V^{**}$?

   Deje $x\in V$. Queremos $F(x)$ a ser un elemento de $V^{**}$, lo $F(x)$ tiene que ser una función con dominio de $V^*$. ¿Cómo podemos describir una función con dominio de $V^*$? Diciendo lo que le hace a cada vector en $V^*$. Así que toma un vector $\mathbf{f}\in V^*$; a continuación, $F(x)$ es la función que está definida por la regla de $[F(x)](\mathbf{f}) = \mathbf{f}(x)$. Esto define una función, llamada $F(x)$, con dominio de $V^*$ e imágenes en $K$. Con el fin de verificar que $F(x)$ es de hecho un elemento de $V^{**}$, tenemos que comprobar que esta función es de hecho una función lineal con dominio de $V^*$. Para ese fin, vamos a $\mathbf{f},\mathbf{g}\in V^*$, y deje $\alpha\in K$. Tenemos que mostrar que $$[F(x)](\mathbf{f}+\alpha\mathbf{g}) = [F(x)](\mathbf{f}) + \alpha[F(x)](\mathbf{g}).$$ De hecho, el lado izquierdo es, por definición, de $F(x)$ y por la definición de lo que significa para agregar transformaciones lineales, igual a: $$[F(x)](\mathbf{f}+\alpha\mathbf{g}) = (\mathbf{f}+\alpha\mathbf{g})(x) = \mathbf{f}(x) + \alpha\mathbf{g}(x).$$ El lado derecho es igual a, por definición de $[F(x)]$, $$[F(x)](\mathbf{f}) + \alpha[F(x)](\mathbf{g}) = \mathbf{f}(x) + \alpha\mathbf{g}(x).$$ Por lo que son de hecho iguales, por lo tanto $[F(x)]$ es un lineal de la función con dominio de $V^*$ e imagen en $K$; es decir, $[F(x)]$ es un elemento de $V^{**}$, como se desee.

   Por último, tenemos que comprobar que el mapa de $F\colon V\to V^{**}$ es en sí misma una transformación lineal. Es decir, tenemos que comprobar que para todos los $x,y\in V$ y todos los $\beta\in K$, $$F(x+\beta y) = F(x) + \beta F(y).$$ Ahora, esta es una igualdad de funciones; ambos lados son funciones con dominio de $V^*$ y codominio $K$, por lo que en el fin de verificar que las dos funciones son iguales tenemos que comprobar que tienen el mismo valor a cada elemento del dominio, que es $V^*$. Así que vamos a $\mathbf{g}\in V^*$. Tenemos que comprobar que $[F(x+\beta y)](\mathbf{g}) = [F(x)](\mathbf{g}) + \beta[F(y)](\mathbf{g})$. Y, de hecho, tenemos: $$\begin{align*} [F(x+\beta y)](\mathbf{g}) & = \mathbf{g}(x+\beta y) &&\text{(by definition of }F\text{)}\\ &= \mathbf{g}(x) + \beta\mathbf{g}(y) &&\text{(because }\textbf{g}\text{ is linear)}\\ &= [F(x)](\mathbf{g}) + \beta[F(y)](\mathbf{g}) &&\text{(by definition of }F\text{)} \end{align*}$$ Por lo $F$ es lineal, y por lo tanto tenemos una transformación lineal $F\colon V\to V^{**}$ dominio $V$ y coddomain $V^{**}$.

2. $\mathcal{C}(I,L(E,F))$ es el conjunto de funciones continuas cuyo dominio es $I$, y cuya área de distribución es un elemento de $L(E,F)$ (el continuo lineal de las funciones de la $E$$F$). Así que si $\mathbf{f}\in\mathcal{C}(I,L(E,F))$, e $a\in I$, $\mathbf{f}(a)$ es un continuo lineal de la función de$E$$F$.

   Ahora, vamos a $f\in \mathcal{C}(I,L(E,F))$. Queremos definir $\mathscr{F}(f)$ a ser un elemento de $L(E,\mathcal{C}(I,F))$. Es decir, queremos $\mathscr{F}(f)$ a ser una función con dominio de $E$ y cuyos valores son funciones continuas de$I$$F$. ¿Cómo podemos describir una función? Por decir lo que sus valores se encuentran en un punto en el dominio. Así que vamos a $x\in E$. La notación $x\mapsto A$ significa que queremos que la función de enviar a $x$ en el dominio de a $A$. Así $$\mathscr{F}(f) = \Bigl( x \longmapsto \bigl(t\mapsto f(t)(x)\bigr)\Bigr)$$ te está diciendo que $\mathscr{F}(f)$ es una función que se llevará a $x$ a... bueno, la imagen de $x$ es una función (de$I$$F$). ¿Cómo se puede describir una función? Diciendo lo que le hace a cada punto del dominio. Así que tengo que decirle a usted lo $[\mathscr{F}(f)](x)$ lo hace a cada una de las $t\in I$. Lo que se hace es enviar$t$$f(t)(x)$. Esto tiene sentido porque $f(t)$ es una función lineal de$E$$F$, por lo tanto la evaluación en $x\in E$ da un elemento de $F$.

   En general, uno puede pensar de una función de dos variables como una función de una sola variable cuyos valores son funciones de una sola de las variables. Por ejemplo, dada $f(x,y) = x^2-y^2$, usted puede pensar en él, en cambio, como un montón de funciones, una para cada valor de $a$ de $x$: $f_a(y) = a^2-y^2$. Intuitivamente, la primera coordenada indica que la función a utilizar, y la segunda coordenada dice donde se evalúan. Así que en lugar de pensar de esta función como una función con dominio de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ y el rango de $\mathbb{R}$, podemos pensar en ella como una función con dominio de $\mathbb{R}$ y el rango de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ (funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$). Esto se llama alarmada. Pero usted puede también pensar de $f(x,y)=x^2-y^2$ como sigue: la segunda coordenada le dice que de una familia $g_b$ de las funciones a utilizar y, a continuación, evalúe $g_b(x)=x^2-b^2$ en la primera coordenada.

   Por la misma razón, una función cuyos valores son funciones pueden considerarse más bien como una función de varias variables. Así un elemento de $C(I,L(E,F))$ puede considerarse de dos maneras:

   • Como una función continua con dominio de $I$ e imagen lineal de los mapas de$E$$F$; o
   • Como una función con dominio de $I\times E$, continua en el primer componente y lineal en el segundo componente, y los valores en $F$.

   Asimismo, $L(E,C(I,F))$ puede considerarse de dos maneras:

   • Como una función con dominio de $E$ e imagen de funciones continuas de$I$$F$; o
   • Como una función con dominio de $E\times I$ y valores en $F$, lineal en la primera coordenada y continua en el segundo.

   Como se puede ver mirando la segunda descripciones de cada uno, los dos conjuntos, $C(I,L(E,F))$ $L(E,C(I,F))$ "debe" ser la misma cosa. La única diferencia es que en el primer caso estamos pensando en $I$ como dar el "índice" de la función que va a utilizar, que luego de evaluar en un punto en $E$, mientras que en el segundo pensamos en $E$ como dar el "índice" de la función que va a utilizar, que luego de evaluar en un punto en $I$. La descripción dada sólo formaliza el hecho de que la primera descripción de cada conjunto en realidad le da el mismo conjunto "moralmente".

Tan lejos como restricciones: no es necesario restringir en principio: si dejas $Y^X$ ser el conjunto de todas las funciones de$X$$Y$, para cualquiera de los tres conjuntos $A$, $B$, y $C$, "alarmada" le dice a usted que no son naturales bijections $$(C^B)^A \longleftrightarrow C^{B\times A} \longleftrightarrow (C^A)^B$$ (una de las razones para la notación). Cuando se trata con los espacios de Banach, que están principalmente interesados en las funciones que "el respeto de la estructura" (lineal y continua); cuando se trata con espacios topológicos, que están principalmente interesados en las funciones que preservan la estructura de la (continua). Aquí, tenemos un espacio topológico, $I$, y dos espacios de Banach, $E$$F$. Así que queremos centrar la atención sólo en las funciones que "el respeto de la estructura". Así que queremos ser lineal cuando entre a$E$$F$; y continua cuando el dominio es $I$.

Añadido. "Natural bijections" por encima de los medios:

• Dado cualquier conjuntos $A$, $X$, y $C$, un mapa de $f\colon X\to A$ induce un mapa de $C^A\to C^X$ "precomposición con $f$": dado cualquier $h\in C^A$, el mapa de $h\circ f$$C^X$.
• Dado cualquier conjuntos $A$, $C$, y $Y$, un mapa de $g\colon C\to Y$ induce un mapa de $C^A\to Y^A$ "postcomposition con $g$": dado cualquier $h\in C^A$, el mapa de $g\circ h$$Y^A$.

El bijections $(C^B)^A \leftrightarrow C^{A\times B} \leftrightarrow (C^A)^B$ son tales que, dada mapas $h\colon C\to Z$, $g\colon Y\to B$, y $f\colon X\to A$, la inducida por los mapas $(C^B)^A\to (Z^Y)^X$, $C^{A\times B}\to Z^{X\times Y}$, y $(C^A)^B\to (Z^X)^Y$ conmuta con el correspondiente bijections: $$\begin{array}{ccccc} (C^B)^A & \longleftrightarrow & C^{A\times B} & \longleftrightarrow & (C^A)^B\\ \downarrow &&\downarrow &&\downarrow\\ (Z^Y)^X & \longleftrightarrow & Z^{X\times Y} & \longleftrightarrow & (Z^X)^Y \end{array}$$ es un diagrama conmutativo.