¿Por qué los elementos de $\mathbb R[x]/(x^2)$ parecen como máximo polinomios de grado uno?

Question

¿Qué hacen los elementos en $\mathbb R[x]/(x^2)$ ¿se parecen? Intuitivamente, sé que son polinomios de grado uno, pero si nos atenemos a la definición de anillo cociente, los elementos tienen el aspecto siguiente $f(x)+(x^2)g(x)$ .

¿Cómo se demuestra que los elementos son polinomios de grado como máximo $1$ ?

Answer 1

Porque todo polinomio $P(x)$ puede escribirse de una y sólo una manera como $x^2Q(x)+R(x)$ , donde $\deg R(x)\leqslant1$ . Por lo tanto, es natural identificar $P(x)+x^2\mathbb{R}[x]$ con $R(X)$ cuyo grado es $0$ o $1$ .

Answer 2

Porque en un polinomio módulo $x^2$ todos los términos de grado $\ge 2$ se matan, al igual que en la representación de un elemento en $\mathbf Z/100\mathbf Z$ , sólo conservas los dos últimos dígitos.

Answer 3

Una forma más agradable de ver el cociente $\mathbf{R}[x]/(x^2)$ es la siguiente: $\mathbf{R}[x]$ es sólo un libre $\mathbf{R}-$ álgebra (con la multiplicación habitual) sobre elementos $\{1,x,x^2,\ldots\}$ . Ahora, cotizando por $(x^2)$ estamos declarando que cualquier elemento de nuestro anillo cociente del que $x^2$ puede ser factorizado es trivial. Se puede pensar en esto como la imposición de una relación algebraica de $x^2=0$ . Entonces, los polinomios de $\mathbf{R}[x]$ son de la forma $$a_nx^n+\cdots+a_1x^{1}+a_0$$ Tras el cociente, tenemos que todos los términos monomiales de grado $\ge2$ se matan, por lo que tenemos un polinomio resultante de $a_1x^1+a_0$ . La construcción del isomorfismo entre estos dos anillos lo hace formal.