¿Por qué ' t Spivak nunca escriba $dx$ en un integral?

Question

Me he dado cuenta que Spivak y muchos otros libros de análisis que leí como Munkres, no utilizan $dx$ que se integran. ¿Por qué es? Esta es una pregunta seria.

Answer 1

Él utiliza el símbolo $$\int_a^b f$$ porque conceptualmente no tiene mucho sentido cuando usted primero debe definir una integral. Simplemente denota la integral de la función de $f$ $a$ $b$. Más adelante escribe que el símbolo $$\int_a^b f(x) \, dx$$ también se utiliza como el posterior notación es mucho más fácil de tratar cuando hay una fórmula para la función (y utiliza esta notación en capítulos posteriores como la Integración en la escuela Primaria Términos). Se lo compara con los límites donde la notación $$\lim_{x \to 2} f(x)$$ se utiliza (ya que es más útil la notación) en lugar de algo como $$\lim_2 f.$$ También, Spivak menciona que se debe pensar de $dx$ como un símbolo de decirle a usted lo que la variable de integración es, y nada más. Esta es la misma razón por la que mi profesor no era cómodo para la inclusión de $dx$ ya que este símbolo tiene un significado, pero no es verdad que se han definido hasta que el estudio de formas diferenciales.

Answer 2

Si estás trabajando con una función arbitraria (o uno que ya ha sido definida) y el contexto es entendido, algunos autores escribirán $\int\!f$ o $\int_a^b\!f$ en lugar de $\int_a^b\!f(x)\,dx$ para ahorrar espacio. Mientras el contexto se entiende, no se pierde información. Técnicamente no se mal; sin embargo, cuando a los estudiantes se les enseña a integrar o uno es la integración en un sentido más general de integración de Riemann, es mucho más seguro para escribir $\int_a^b\!f(x)\,dx$ o $\int_a^b\!f\,d\mu$ para evitar la confusión. En la configuración más avanzada, las anotaciones se utilizan indistintamente, pero cuando uno es el primer aprendizaje del cálculo, de la notación $\int_a^b\!f(x)\,dx$ ayuda a los estudiantes a mantener la variable de integración y funciones de la recta ($dx$ le recuerda que debe integrar con respecto a $x$). En un primer curso de cálculo, muchos estudiantes no han visto la diferencia entre el $f$ (una función) versus $f(x)$ (un número), y viendo la notación $\int\!f$ puede ser un poco confuso, ya que la diferencia entre el $f$ $f(x)$ no está del todo claro (aunque $\int\!f$ significa lo mismo que $\int\!f(x)\,dx$).

Históricamente, $\int_a^b\!f(x)\,dx$ fue utilizado como un sugerente notación, donde el $\int$ corresponde a la $\sum$ en la suma de Riemann, y de hecho, es una s alargada porque es la "suma de un número infinito de rectángulos con la altura de la $f(x)$ y "infinitamente pequeño" anchura $dx$." Finalmente, escritores $x_0,\ldots, x_n$ a indicar los puntos de la partición, y la abreviatura $x_i - x_{i - 1} = \Delta x_i$ se convirtió en estándar. La integral se define como el límite de la malla de la partición tiende a $0$ (y en otras más rigurosas como más bien tarde), o como $\Delta x_i\to 0$, de las sumas $\sum_{i = 1}^n f(x_i)\Delta x_i$. La forma en que cada pieza de la suma de los cambios a un pice de la integral cuando el límite se toma es bastante sugerente, y que agrada a muchas personas (por no mencionar que nos recuerda de cómo uno realmente se obtiene la integral de Riemann). [Historia de la toma de notas a pie de página en Spivak]

Answer 3

Spivak está tratando de dar la impresión de un bien definido y riguroso, el paso a paso de la elaboración de una teoría con fundamentos sólidos. Nada podría hacer más para sacudir al lector la confianza en este proyecto que aparece a confiar en la eficacia, pero mágica Leibniz $f(x)dx$ notacional vudú. Así que utiliza las integrales de funciones a través de subconjuntos $\int f$, no integrales de formas diferenciales $\int f(x) dx$. Como una concesión a la realidad de que los usuarios de su libro puede ser de los estudiantes en el cálculo real de las clases, él hace mención de la notación tradicional y en el capítulo de las reglas algebraicas para la integración de los ejercicios están en Leibniz forma.

Spivak también se evita la notación de Leibniz para los derivados, y el lenguaje de infinitesimals. Él explica la $df/dx$ simbolismo y sus propiedades formales, pero nunca se basa en que en una prueba. Sólo $f'$ es utilizado. Notación de Leibniz, no tiene que ser no rigurosas, pero crea un aire de misterio y esto no es consistente con los objetivos de Spivak del libro.

Más:

una búsqueda a través de la línea parte de la 3ª edición

http://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&q=leibnizian

encuentra una declaración de que "Leibniziana de la notación" es ambiguo y se puede evitar en el texto principal, pero se muestra en algunos de los ejercicios. Esto se hace en los capítulos sobre los derivados. Para las integrales parece que el texto principal evita el uso de $\int f(x) dx$ en general teoremas acerca de la integración de funciones, pero permite que el $dx$ forma cuando se habla de las integrales de funciones particulares, y en los ejercicios de las integrales son en su mayoría en $dx$ formulario. Spivak parece considerar el diferencial de Leibniz notación como descuidado por derivados, pero de mala gana aceptable para las integrales.

Answer 4

Parte de la cuestión aquí es que en realidad hay dos cosas que están pasando en básicos de cálculo integral:

• La teoría de las "integrales definidas de funciones": dado un real continua la función con valores de $f$ en un intervalo de $[a,b]$ queremos asociar un número real, la integral definida,$\int_a^b f$.

• Una teoría de cómo calcular estas integrales definidas utilizando la manipulación simbólica (que es lo que la palabra "cálculo" que significa). En esta configuración, tenemos una expresión, que no es lo mismo que una función, y queremos sacar de la integral definida a través de algoritmos en términos de esta expresión. Esto es lo que Wolfram Alpha, por ejemplo - que manipula las expresiones, pero no las funciones.

En la segunda escena, que no es siempre obvio que la función está definida por una expresión. Por ejemplo, no es en absoluto obvio lo $\int_1^3 zc$ - cuál es la función del es $zc$?. En este caso, tenemos a nombre de la variable que se utiliza para definir la función, por ejemplo, $\int_1^3 zc\,dc$ significa que estamos a la integración de la función de $f(x) = zx$$1$$3$, y por convención se supone que vamos a asumir $z$ fijo es un número real. Para el cálculo de la fórmula de $\int_1^3 zc\,dc = 4z$ realmente significa: si $z$ fijo es un número real y $f$ es la función en $[1,3]$ $f(x) = zx$ $\int_1^3 f$ será igual a $4z$.

Históricamente, más cerca de la hora cuando el cálculo se ha desarrollado, matemáticos, tales como Johann Bernoulli y Euler utiliza la "función" como sinónimo de "expresión". El uso rutinario de funciones que no están definidas por expresiones particulares no era común en ese tiempo como lo es ahora.

Autores modernos son conscientes de la distinción, pero por diversas razones no se destacó en los libros de texto. Los textos suelen presentar integral de reglas en términos de las expresiones, pero la prueba (o "probar") teoremas en términos de funciones. Para cerrar esa brecha, que a veces es necesario indicar la variable que se utiliza para definir una función a partir de una expresión. Ese es el propósito moderno de la "dx" en la notación.