Complejo el análisis de la pregunta.

Question

Cuál de los siguientes no es cierto?

$(a)$ Existe una analítica de la función $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que para todo $z\in \mathbb{C}$ , $Re(f(z))=e^x$.

$(b)$ Existe una analítica de la función $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que $f(0)=1$, y para todos los $z\in \mathbb{C}$ tal que $|z|\geq1$ tal que $|f(z)|\leq e^{-|z|}$.

podría usted por favor darme algunos consejos?

He aplicado liouville thorem para $(b)$ y consiguió $f(z)$ es constante, pero no necesariamente $f(z)=1$. Estoy en lo cierto?

Answer 1

(a): Si $u=Re(f)$, $u$ es armónico, esto significa: $u_{xx}+u_{yy}=0$. Es esto posible si $u(x,y)=e^x$ ?

(b) Por $|z| \ge 1$ tenemos $e^{-|z|} \le 1/e$, por lo tanto $f$ está delimitado por $|z| \ge 1$.

El conjunto $K=\{z :|z| \le 1\}$ es compacto, por lo tanto $f$ está delimitada en $K$.

Conclusión: $f$ está delimitada en $ \mathbb C$, por lo tanto $f$ es constante, por lo tanto, para algunas de las $c$:

$f(z)=c$ todos los $z$. De $f(0)=1$ obtenemos $c=1$. De la siguiente manera:

$1=f(1) \le 1/e$, una contradicción.