$AB$ no es invertible

Question

Es cierto que si $A$ $m \times n$ matriz y $B$ $n \times m$ matriz, con $m > n $$\det(AB)=0$?

Answer 1

Desde $rank(AB)\le rank(A)\le \min\{m,n\}=n<m$ $AB$ $m\times m$ matriz,

$AB$ a no es invertible, y por lo tanto $\det(AB)=0$.

Answer 2

Desde $m>n$, debemos tener la $\ker B$ no es trivial (buscar en la fila de la forma canónica, por ejemplo). Por lo tanto $Bv=0$ algunos $v \neq 0$, y por lo $ABv=0$. De ello se desprende que $AB$ es singular y que $\det (AB) = 0$.

Answer 3

Si $$ A=(a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m\times n}, \ B=(b_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times m}, $$ con $m>n$, luego $$ C:=AB=(c_{ij}) \in \mathbb{R}^{m\times m}, $$ con $$ c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}. $$ Para $j=1,\ldots,m$ vamos $$ \mathbf{c}_j=Ce_j \in \mathbb{R}^m, $$ donde $(e_1,\ldots, e_m)$ representa la base canónica de $\mathbb{R}^m$. Entonces tenemos $$ \mathbf{c}_j=\left[ \begin{array}{c} \sum_{k=1}^na_{1k}b_{kj}\\ \vdots\\ \sum_{k=1}^na_{mk}b_{kj} \end{array} \right]=\sum_{k=1}^nb_{kj} \left[ \begin{array}{c} a_{1k}\\ \vdots\\ a_{mk} \end{array} \right]= \sum_{k=1}^nb_{kj}\mathbf{a}_k, $$ con $$ \mathbf{a}_j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{array} \right] \in \mathbb{R}^n. $$ Ahora tenemos \begin{eqnarray} \det(C)&=&\det(\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_m)=\sum_{k_1=1}^n\sum_{k_2=1}^n\ldots\sum_{k_m=1}^nb_{k_1,1}b_{k_2,2}\ldots b_{k_m,m}\det(\mathbf{a}_{k_1},\ldots,\mathbf{a}_{k_m}) \end{eqnarray} Ya que hay exactamente $n$ vectores $\mathbf{a}_j$, y el factor determinante ha $m>n$ entradas hemos $$ \det(\mathbf{a}_{k_1},\ldots,\mathbf{a}_{k_m})=0 \quad \forall k_1,\ldots,k_m \in \{1,\ldots,n\} $$ porque, al menos, dos entradas deben ser iguales. Por lo tanto $$ \det(C)=0. $$

Answer 4

Twink, no hay otra manera de mirar en su declaración. Tomemos, por ejemplo, una matriz de 3x2 en la que usted elija sus números. A continuación, tomar una matriz de 2x3 en el que poner las letras de sus entradas, digamos a,b,c,d,e,f Ahora realizar la multiplicación de la matriz. Usted va a terminar con una matriz de 3 por 3, pero más interesante, examinar sus filas. Todos sus coeficientes son los mismos cuando se comparan las entradas! De hecho, no importa lo que usted ;escoger para su a,b,c,... se va a tener en cada fila el mismo valor!. Una simple fila opration, a continuación, muestra que existe una dependencia lineal. Ahora mi enfoque NO es un riguroso demostrar como los colegas de arriba han hecho. Es sólo un enfoque diferente, como para ver cómo su declaración de "obras"

Answer 5

Básicamente el mismo como cooper.sombrero de respuesta con menor tecnología.

Considerar el sistema $$B\mathbf x = 0.$$ Since $B$ is an $n\times m$ matrix and $n\lt m$, this system has infinite solutions. So there is one non trivial solution say $\mathbf y$. But then $\mathbf y$ is also a nontrivial solution to the system $$(AB)\mathbf x = 0$$ y por lo $AB$ no es invertible.

Por lo $\det(AB)=0$.