Encontrar dimensión del espacio

Question

Deje $V = M_n(\mathbb{C})$ y definir

$$ f(a,B) = n\cdot\mathrm{tr}(AB) - \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)\ . $$

Encontrar $\mathrm{dim} (S)$ donde

$$ S = \left\{ v \V\ | \ \text{para todo}\ u \V \ f(v,u) = 0\right\}\ . $$

Primero trató de revisar algunos casos de base: para $n=1$, $f(A,B) = 0$ por lo $\mathrm{dim}(S) = n = 1$, pero para $n>1$ no es fácil encontrar $\mathrm{dim}(S)$.

Así que he demostrado que los $f(A,B)$ es simétrica forma bilineal sobre $V$. Entonces traté de demostrar que $f$ es un producto interior, pero no he podido probar y no sé si este es el camino correcto.

Answer 1

Estás buscando el set$~S$ de todas las matrices $\def\tr{\operatorname{tr}}A\in M_n(\Bbb C)$ tal que $$ n\tr(AB)=\tr(A)\tr(B)\qquad\text{para todos los $B\in M_n(\Bbb C)$,} $$ que como se comentó es un (complejo) el subespacio de $M_n(\Bbb C)$. Tenga en cuenta que desde $\tr(I_n)=n$, uno ha $I_n\in S$. Por lo que la dimensión es, al menos,$~1$.

Ahora $(A,B)\mapsto \tr(AB)$ es no degenerada bilineal simétrica forma, como uno fácilmente cheques (sólo el cero de la matriz da$~0$ con todos los elementales de matrices). Si dejamos $B$ a través de la $n^2-1$ dimensiones subespacio$~T$ $M_n(\Bbb C)$ de las matrices con traza$~0$, podemos ver que $A$ tiene que ser en el complemento ortogonal de$~T$ para este formulario. Por lo $1\leq\dim S\leq n^2-(n^2-1)=1$$\dim S=1$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $E_{ij}$ la matriz con el cero en cada entrada, excepto donde se toma el valor de $1$ $(i,j)$- ésimo componente. Podemos escribir estas como $E_{ij} = e_ie_j^T$ el producto de $n \times 1$ $1 \times n$ estándar vectores de la base y sus transpuestas. Claramente, $e_i^T e_j = e_i \cdot e_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ 1 & i=j \end{cases}$. Considere entonces, $$ E_{ij}E_{kl} = (e_ie_j^T)(e_ke_l^T) = e_i \delta_{jk}e_l^T = \delta_{jk}E_{il} $$ Cualquier matriz puede ser escrito $A = \sum_{ij} A_{ij}E_{ij}$ para la adecuada complejo escalares $A_{ij}$. De la misma manera por $B$. Ahora conecte estas en la definición de condiciones para $S$ y ver lo que esta condición de las fuerzas sobre los componentes $A_{ij}$. Nota: $$ AB = \sum_{ijk} A_{ik}B_{kj}E_{ij} $$ Pero, $\text{trace}(C) = \sum_i C_{ii}$ por lo tanto $$ \text{trace}(AB) = \sum_{ik} A_{ik}B_{ki} $$ Por otro lado, $$ \text{trace}(A)\text{trace}(B) = \sum_{i} A_{ii} \sum_k B_{kk} = \sum_{ik}A_{ii}B_{kk} $$ Por lo tanto, en general, $f(A,B)=0$ los rendimientos de la condición que sigue como $n\text{trace}(AB)-\text{trace}(A)\text{trace}(B) = \text{trace}(nAB)-\text{trace}(A)\text{trace}(B)$ $$ 0 = \sum_{ik} (nA_{ik}B_{ki} -A_{ii} B_{kk}) \qquad \star $$ Queremos caracterizar todos los $A$ tal que $f(A,B)=0$ todos los $B$. Por lo tanto, podemos elegir particular $B$ como para simplificar la condición anterior. Por ejemplo, $B=E_{pq}$ $\text{trace}(B)=\delta_{pq}$ $B_{ij} = \delta_{pi}\delta_{qj}$ y de ello se sigue que $\star$ se reduce a: $$ 0 = \sum_{ik} (nA_{ik}\delta_{pk}\delta_{qi} -A_{ii}\delta_{pk}\delta_{qk} )$$ Por lo tanto, tenga en cuenta $p,q$ son gratis índices de aquí, $$ 0 = nA_{qp} -\text{trace}(A)\delta_{pq} $$ por lo tanto, el intercambio de $p$ $i$ $q$ $j$ encontramos $$ A_{ij} = \frac{1}{n}\text{trace}(A)\delta_{ij}$$ Por lo tanto, si $f(A,B)=0$ todos los $B$ $$ A = \sum_{ij} A_{ij}E_{ij} = \sum_{ij}\frac{1}{n}\text{trace}(A)\delta_{ij}E_{ij} =\frac{1}{n}\text{trace}(A) \sum_i E_{ii} = \frac{\text{trace}(A)}{n}I.$$ Por lo tanto $S = span(I)$.

Así, apuesto a que usted está en lo correcto, tengo la sospecha de que podría encontrar de una forma más inteligente de la línea de razonamiento. La verdad es que se me ocurre para disfrutar de este tipo de cálculo.

Answer 3

Aquí es una alternativa a prueba. Considerar el producto interior $\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(Y^\ast X)$. Si $A\in S$, la condición dada, dice que $$ \langle a,B\rangle = \frac1n\langle a,I\rangle\langle I,B\rangle = \left\langle \frac1n\langle a,I\rangle I,\ B\right\rangle $$ para todos los $B\in M_n(\mathbb{C})$. Por lo tanto $A=\frac1n\langle A,I\rangle I=\frac1n\operatorname{tr}(A)I$, es decir, $A$ es un escalar varios de $I$. Por lo tanto,$\dim S=1$.