Por definición, el grupo $G$ es divisible si para cualquier $g\in G$ y el número natural $n$ hay $h\in G$ tal que $g=h^n$ . Sea $A$ sea un grupo abeliano sin subgrupos propios de índice finito. ¿Cómo puedo demostrar que $A$ ¿es divisible?
Respuesta
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Jonik
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Considere la $n$ tal que $A^n := \{ a^n : a\in A \} \neq A$ . En general, estos $A/A^n$ serán módulos sobre los anillos autoinjetivos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ por lo que el teorema de Prüfer/Kulikov muestra que tienes un subgrupo de índice finito. Sin embargo, si se elige un buen $n$ puedes usar el álgebra lineal. Versión simple bajo el spoiler, ya que algunas otras personas estaban trabajando en ello.
Si $A$ no es divisible, entonces el conjunto $S = \{ n \in \mathbb{Z} : n > 0, \{ a^n : a \in A \} \neq A \}$ tiene un elemento mínimo (más generalmente, el conjunto de ideales sin la propiedad Baer tiene un elemento máximo). Sea $n$ sea el menor elemento de $S$ . Si $n=ab$ para $a,b > 1$ entonces $A \neq A^n = A^{ab} = (A^a)^b = A^b = A$ ya que $a,b < n$ así que $a,b \notin A$ . Por lo tanto, $n$ es primo y $A/A^n$ es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . En particular, por el axioma de elección tiene un subespacio maximal $B$ y como $B$ tiene codimensión 1, $[A:B] =n$ es un índice finito.
