Pregunta sencilla sobre conjuntos cerrados

Question

Tengo dos funciones $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que son continuas. Ahora en una prueba de un solo paso que no explicó, además, dice que el conjunto

$$M = \{x \in \mathbb{R}| f(x) \leq g(f(x))\}$$ es cerrado.

He pensado en ello, pero no podía encontrar una breve argumento formal y me temo que la respuesta es muy trivial debido a que el libro explica todos los demás pasos muy detallados. Me di cuenta de que si, en lugar de decir $f(x) < g(f(x))$ no es cierto, ya que usted podría establecer $f(x)=\frac{1}{|x|+1}$ $g(x)=1$ conseguir una contradicción para una secuencia de con $x_n \rightarrow 0$. Gracias de antemano.

Answer 1

Ver el $h(x) = g(f(x)) - f(x)$ y observar que $M = h^{-1}[0,\infty)$ está cerrada debido a la $h$ es continua.

Answer 2

Tanto en $f$ $g$ son continuos, por lo que la función de $f - g\circ f$ es continua. Por lo tanto $\{x| f(x) - g\circ f(x) \le 0\}$ es cerrado.

En su caso, $$g(x) - g\circ f(x) = 1 = {1\over |x| + 1|} = {|x|\over |x| + 1}. $$ Este es continua en todas partes.

Answer 3

El siguiente ejercicio puede ser útil. En todo caso, probar o dar un contraejemplo:

Ejercicio 1: Si $f,g,h$ son funciones continuas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ¿cuál de los siguientes conjuntos es cerrado:

(a) $\{x:f(x)g(x)\leq h(x)\}$,

(b) $\{x:\frac{f(x)}{g(x)}\leq h(x)\}$ (si $g\neq 0$ en todas partes),

(c) $\{-1\leq x\leq 1: f(x)\leq g(x)\}$?

Ejercicio 2: Si tenemos funciones continuas $f_N,g_N:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para cada entero positivo $N$, es el siguiente conjunto cerrado: $\{x:\text{for all positive integers }N\text{ we have } f_N(x)\leq g_N(x)\}$?

Ejercicio 3: Si $f_N:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua para cada entero positivo $N$ e si $g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ también son continuas, entonces es la siguiente conjunto cerrado: $\{x:\text{for some positive integer }N\text{ we have } g(x)\leq f_N(x) + h(x)\}$?

Ejercicio 4: En la notación del Ejercicio 3 es el conjunto $\{x:\text{for all positive integers }N\text{ we have } f_N(x)-\sin(h(x)g(x))+e^{f(x)\tan{x}}\leq g(x)\}$ cerrado?

Ejercicio 5: Si $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ son continuos, es el conjunto $\{x:\sin(\cos(f(x))g(x))\leq \cos(\sin(g(x))f(x))\}$ cerrado?

Espero que esto ayude!