¿Cuál es(son) el valor de la(s)$\sqrt{i}+\sqrt{-i}$?

Question

Cuando voy a averiguar el valor de $\sqrt{i}+\sqrt{-i}$, me pegué a evaluar $\sqrt{i}\times \sqrt{-i}$.

Progreso: $\sqrt{i}+\sqrt{-i}=\sqrt{(\sqrt{i}+\sqrt{-i})^2}=\sqrt{2\times \sqrt{i}\times\sqrt{-i}}$.

Ahora $\sqrt{i}\times\sqrt{-i}=\sqrt{i\times (-i)}=\sqrt{-i\times i}=\sqrt{-1\times i^2}=\sqrt{-1\times -1}=1$
Pero, de nuevo, $\sqrt{i}\times\sqrt{-i}=\sqrt{i}\times \sqrt{i}\sqrt{-1}=\sqrt{i}\times \sqrt{i}\times i=i\times i=i^2=-1$.

Cuál es la correcta y cuál es la lógica detrás de esto?
y, Finalmente, ¿cuáles son los valores de $\sqrt{i}+\sqrt{-i}$

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos escribir $i=e^{i(\pi/2+2k\pi)}$ cualquier $k\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, la raíz cuadrada de $i$ es multivalor y puede ser escrito

$$\sqrt i=\pm e^{i\pi/4}=\pm \frac{\sqrt 2}{2}\left(1+i\right) \tag 1$$

Del mismo modo, $-i=e^{-i(\pi/4+2k\pi)}$ y su raíz cuadrada es multivalor y puede ser escrito

$$\sqrt{-i}=\pm e^{-i\pi/4}=\pm \frac{\sqrt 2}{2}\left(1-i\right)\tag 2$$

La adición de $(1)$ $(2)$ de la misma rama de los rendimientos

$$\sqrt {i}+\sqrt{-i}=\pm \sqrt 2$$

La adición de $(1)$ $(2)$ de las ramas con signos opuestos, nos encontramos con

$$\sqrt {i}+\sqrt{-i}=\pm i \sqrt 2$$

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DISCUSIÓN GENERAL:

Para responder a la pregunta más general sobre el producto $(z_1^a)(z_2^a)$, hacemos un llamamiento a la definición de $z^c$ donde $c\in \mathbb{C}$. Vemos, entonces, que

$$z^{c}=e^{c\log(z)}$$

donde $\log(z)=\log(|z|)+i\arg(z)$ es el multivalor función logaritmo.

Hemos de activos, por lo tanto, que

$$(z_1^a)(z_2^a)=(z_1z_2)^a \tag3$$

donde $(3)$ se interpreta en términos de establecer la equivalencia de Ver esta respuesta.

Esto significa que la suma de cualquier valor de $z_1^a$ y cualquier valor de $z_2^a$ puede ser escrito como algunos de valor de $(z_1z_2)^a$. Y a la inversa, cualquier valor de $(z_1z_2)^a$ puede ser expresado como la suma de algunos de valor de $z_1^a$ y algunos de valor de $z_2^a$.

NOTA: es importante entender que el $(3)$ no posee en general si $z^a$ está ocupada en la rama Principal del complejo logaritmo (o cualquier otra sucursal designada desde entonces se pierde un grado de libertad).

EJEMPLO:

Para $z_1=i$, $z_2=-i$, y $a=1/2$, tenemos

$$\sqrt{i}\sqrt{-i}=\sqrt{i(-1)}=\sqrt{1}$$

Si elegimos $\sqrt{i}=e^{i\pi/4}$$\sqrt{-i}=e^{-i\pi/4}$, entonces debemos elegir la rama de $\sqrt{z}$ que $\sqrt{1}=1$. Por otro lado, si elegimos $\sqrt{i}=-e^{i\pi/4}$$\sqrt{-i}=e^{-i\pi/4}$, entonces debemos elegir la rama de $\sqrt{z}$ que $\sqrt{1}=-1$.

Por el contrario, si se elige la rama de $\sqrt{z}$ que $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{i}=-e^{i\pi/4}$ debemos tener $\sqrt{-i}=-e^{-i\pi/4}$.

Answer 2

Estoy usando tu método, pero yo voy a abstenerme de escribir $\sqrt{z}$ $z$ complejo. Vamos a utilizar sólo $[i^2=-1]$ $[x^2=y^2\iff x=\pm y]$

Vamos a tener $a^2=i$$b^2=-i$, estamos buscando para el valor de $(a+b)$.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=i+2ab-i=2ab$

$a^2b^2=(i)(-i)=1\iff ab=\pm 1$

• Si $ab=1$ $(a+b)^2=2$ $(a+b)=\pm\sqrt{2}$
• Si $ab=-1$ $(a+b)^2=-2$ $(a+b)=\pm i\sqrt{2}$

Hemos encontrado $4$ valores posibles, y esto es normal, recuerda que en $\mathbb C$ cada complejo tiene $2$ posible raíces para $\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}$ $4$ valores posibles (si $z_1\neq z_2$ del curso).

O simplemente un aviso de que $z=a+b$ es la solución de $z^4=(a+b)^4=(2ab)^2=4a^2b^2=4$ $z^4-4=0$ $4$ raíces distintas.

Answer 3

No hay una respuesta definitiva a menos que se especifique que la raíz cuadrada se entiende por $\sqrt z$ al $z$ es un número complejo. No obstante, se puede limitar el resultado a cuatro posibilidades.

Vamos $a=\sqrt i$, $b=\sqrt{-i}$, y $s=a+b$. Si todos asumimos acerca de $a$ $b$ es que el $a^2=i$$b^2=-i$, luego

$$s^2=a^2+2ab+b^2=i+2ab-i=2ab$$

por lo tanto

$$s^4=4a^2b^2=4i(-i)=4$$

así que podemos ver que $s\in\{\sqrt2,-\sqrt2,\sqrt2i,-\sqrt2i\}$.

Hay dos convenciones estándar para especificar que el cuadrado de la raíz que significa el símbolo de la raíz cuadrada. En el marco de un convenio, $\Re(\sqrt z)\gt0$ si $z\not\in\mathbb{R}$, en cuyo caso $\sqrt i+\sqrt{-i}=\sqrt2$. En el otro, $\Im(\sqrt z)\gt0$ si $z\not\in\mathbb{R}$, en cuyo caso $\sqrt i+\sqrt{-i}=\sqrt2i$.

Nota: En la publicación de este, veo que me he duplicado mucho de lo que zwim publicado, mientras que yo estaba pensando y la composición, e incluso utiliza el mismo $a^2=i, b^2=-i$ notación.