Usted puede calcular la derivada directamente por la visualización de las esferas como submanifolds en $\mathbb H$ y el espacio de la puramente imaginario cuaterniones, respectivamente. De hecho, el mapa de $f(z)=ziz^*$ hace sentido como un mapa de $\mathbb H$ al imaginario cuaterniones, por lo que se pueden diferenciar como cualquier mapa de $\mathbb R^4\to\mathbb R^3$, y luego pensar acerca de la restricción a la unidad de las esferas. En partiuclar, usted puede calcular el $Df(z)(w)$ como la derivada en $t=0$$f(z+tw)$. Oberserving que quaternionic la multiplicación es $\mathbb R$ bilineal, mientras que la conjugación es $\mathbb R$-lineal, consigue $Df(z)(w)=wiz^*+ziw^*$, y esto es el doble de la parte imaginaria de $wiz^*$.
Así que lo que realmente tienen que demostrar es que si usted tiene una puramente imaginaria de cuaterniones $q$ perpendicular a $ziz^*$ (es decir, la tangente a $S^2$ en ese punto), entonces usted puede escribir como $wiz^*+ziw^*$, para algunas de las $w$ que es perpendicular a $z$ (y, por tanto, la tangente a$S^3$$z$). Ahora bien, esto es fácil para $z=1$. Aquí $q$ debe ser una combinación lineal de $j$$k$, mientras que $w$ tiene que ser puramente imaginario, y escribir inmediatamente una solución explícita. Para general $z$, el espacio ortogonal a $ziz^*$ es distribuido por $zjz^*$$zkz^*$, y del mismo modo se puede encontrar una solución explícita.
De haber verificado que $\pi$ es una inmersión, se deduce que es surjective. Desde $d\pi(z)$ es surjective, el teorema de la función implícita demuestra que la imagen de $\pi$ contiene un abierto nighborhood de $z$ $S^2$ y desde que esto funciona para cada una de las $z$, se puede ver que $\pi(S^3)$ está abierto en $S^2$. Por otro lado, la continuidad de la $\pi$ muestra que $\pi(S^3)$ es un subconjunto compacto de $S^2$ y por lo tanto cerrado. Desde $S^2$ está conectado, usted consigue $\pi(S^3)=S^2$.
