Una buena referencia es John Napier y la invención de los logaritmos, 1614 , por E. W. Hobson (1914). También puede leer las obras originales de Napier: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Inglés: Una descripción de la admirable tabla de logaritmos , 1616 ), y Mirifici logarithmorum canonis constructio (Inglés: La construcción del maravilloso canon de los logaritmos , 1889).
He aquí un resumen.
Ahora pensamos en la función logaritmo como la inversa de la exponentación, pero Napier trabajaba en una época en la que ni siquiera la noción de exponenciación era común. (Todo esto fue también antes del cálculo, la computación con series infinitas o la geometría de coordenadas). En cambio, su idea crucial fue una cierta definición de "logaritmos" que satisfacía lo siguiente
Propuesta: Si un conjunto de números está en progresión geométrica, entonces sus logaritmos están en progresión aritmética.
Así, a grandes rasgos, Napier construyó conjuntos de números en progresión geométrica y halló sus logaritmos mediante interpolación lineal. Para las progresiones geométricas, eligió relaciones comunes como $(1-\frac1{10^7})$ (otros que utilizó fueron $(1-\frac1{10^5})$ , $(1-\frac1{2000})$ y $(1-\frac1{100})$ ) porque es fácil multiplicar un número por él: restar al número el resultado de desplazarlo $7$ decimales a la derecha. Por ejemplo, a siete decimales, $9999998.0000001(1-\frac1{10^7})$ es
$$\begin{align} 9999998&.0000001 \\ -\phantom{000000}0&.9999998 \\ -----&----- \\ = 9999997&.0000003\end{align}$$
Esto es lo que Wikipedia entiende por "por sustracción repetida".
En concreto, su logaritmo se definió de la siguiente manera.
![From Hobson's book]()
Imagina una línea $TS$ de longitud $R$ (= $10^7$ ), a lo largo de la cual un punto $P$ se mueve de $T$ a $S$ tal que su velocidad es proporcional a su distancia a $S$ . Mientras tanto, otro punto $Q$ en una línea diferente, a partir de $T_1$ cuando $P$ está en $T$ se mueve a una velocidad uniforme (la velocidad de $P$ cuando en $T$ ).
DEFINICIÓN: Si cuando el punto $P$ está en $P_1$ el punto $Q$ está en $Q_1$ entonces el logaritmo de la longitud $P_1S$ se define como la longitud $T_1Q_1$ .
Así que $l(R)=0$ y $l(x) \to \infty$ como $x \to 0^+$ . También $l(x)<0$ para $x>R$ .
Napier demostró, con un argumento esencialmente sólido, que cuando $Q_1, Q_2, \dots$ se cubren después de tiempos iguales, es decir, las longitudes $T_1Q_1, T_1Q_2, \dots$ están en progresión aritmética, entonces las longitudes $P_1S, P_2S, \dots$ están en progresión geométrica. Esta es la proposición mencionada anteriormente.
En notación moderna, el logaritmo de Napier $l(x)$ que definió es (y lo que calculó es una aproximación a) $10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \left(\frac{x}{10^7} \right) = -10^7\ln x + 10^7\ln (10^7)$ . Podemos ver esto de la siguiente manera: si $x$ es la longitud $PS$ y $y = l(x)$ es la longitud $T_1Q$ entonces $\frac{dx}{dt} = - \frac{Vx}{R}$ donde $V$ es la velocidad inicial cuando $P$ está en $T$ y $\frac{dy}{dt} = V$ Así que $\frac{dy}{dx} = - \frac{R}{x}$ y resolviendo esta ecuación diferencial (con la condición inicial $l(R)=0$ ) da $y = -R\ln x + R\ln R$ . (Se trata de la observación de que $\frac{d}{dx} \ln x = \frac1x$ que parece deberse a Newton unas décadas después. Véase la línea de tiempo en la parte inferior de esta página .)
Los primeros valores son más o menos iguales a $\log_{(1-10^{-7})} \left( \frac{x}{10^7} \right)$ . (Para ver esto de forma aproximada, como Napier: elija alguna unidad de tiempo pequeña, y suponga que después de $1$ unidad de tiempo $y=k$ y $x = Rr$ para algunos $r<1$ . (Si la unidad de tiempo es pequeña, la distancia $R(1-r) \approx k$ .) Entonces, después de $t$ unidades de tiempo $y = kt$ y $x = Rr^t$ . Así que $t = \log_r(x/R)$ y $y = k\log_r(x/R)$ que para $r = (1-1/R)$ y $k \approx R(1-r) = 1$ da $y = \log_{1-1/R}(x/R)$ .) Las partes posteriores de su tabla son aproximaciones de diferentes maneras, según las progresiones geométricas correspondientes.
La definición moderna de los logaritmos para que $\log 1 = 0$ y $\log 10 = 1$ (bueno, estaba pensando en $\log 10 = 10^{10}$ pero esto sólo significa calcular logaritmos a diez dígitos) se le ocurrió a Napier sólo después de haber empezado a trabajar en su plan original, por lo que en sus publicaciones sólo propone un esbozar de cómo se podría construir esta tabla. Fue Henry Briggs quien publicó la primera tabla de logaritmos de base 10.
Para ser precisos, la tabla de Napier daba los "logaritmos" de sines de ángulos de $0^\circ$ a $90^\circ$ . La definición de entonces de $\mathop{Sine} \theta$ que se remonta a de Aryabhata en el siglo V, fue (por algún radio fijo $R$ ) la longitud de la semicuerda que subtiende el ángulo $\theta$ en un círculo de radio $R$ . En notación moderna, $\mathop{Sine} \theta = R\sin \theta$ . Napier eligió $R = 10^7$ . (Así que $\mathop{Sine} 0^\circ = 0$ y $\mathop{Sine} 90^\circ = 10^7$ .) Su tabla daba los "logaritmos" del Sines de ángulos equidistantes, por lo que aunque daba logaritmos de números de $0$ a $10^7$ Estos números no estaban igualmente espaciados. Aquí está parte de una página de sus tablas (ver más aquí ):
![Part of a page from Napier's tables, from Hobson's book]()
La última fila dice (en notación moderna, y omitiendo los dígitos después del punto decimal) que $10^7\sin(9^\circ 15') = 1607426$ que $l(1607426) = 18279507$ (en realidad debería haber sido $18279511$ ), y leyendo desde la derecha, da el Seno del ángulo del complemento $80^\circ 45'$ (o equivalentemente el Coseno de ese ángulo), el logaritmo de ese Seno, y la diferencia entre los dos logaritmos (útil esencialmente porque $\log\sin\theta -\log\cos\theta=\log\tan\theta$ etc.).
Sobre la elección de $10^7$ (explicado de forma concisa en la respuesta de Henry), ten en cuenta que en aquella época la notación decimal tampoco era estándar. Así que en lugar de poner dígitos después del punto decimal y esperar que los lectores lo entendieran, tuvo que multiplicar por una gran potencia de 10 para que hubiera suficientes dígitos en la parte integral (antes de donde estaría el punto decimal). El libro de Hobson dice
Su elección se hizo con el fin de hacer los logaritmos de los senos de los ángulos entre $0^\circ$ y $90^\circ$ , es decir, de números entre $0$ y $10^7$ , positivo y que contenga una parte integral considerable.
Y Napier's Construcción dice
En estas progresiones necesitamos precisión y facilidad de trabajo. La precisión se obtiene tomando números grandes como base; pero los números grandes se hacen más fácilmente a partir de los pequeños añadiendo cifrados [ceros]. Así, en lugar de 100000, que los menos experimentados hacen el mayor seno, los más doctos ponen 10000000,
Y así sucesivamente. Es un poco humorístico realmente, desde nuestra perspectiva, pero el Construcción es esclarecedor para los historiadores que quieran saber cómo se construyeron las primeras tablas de logaritmos.
