Tengo yo.yo.d. variables $X_i$ que se distribuyen de acuerdo a un truncado $\text{Gamma}(\alpha,\beta)$ de la distribución, con el apoyo de $[0,w)$ donde $w$ es una constante. ¿Cuál es la distribución de $Y=\sum_{i=1}^NX_i$?
He estado tratando de obtener la distribución para $N=2$ a generalizar a partir de ahí. El pdf es:
$$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}x^{\alpha-1}e^{-x\beta}$$
donde $\gamma$ es la baja de la función gamma incompleta y $f$ es compatible en $[0,w)$. A continuación, para $N=2$ la distribución de los $Y$ es:
$$\begin{aligned} g(y) &= (f*f)(y) \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f(y-x)\text dx \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbb{1}_{0\leq x < w}\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}x^{\alpha-1}e^{-x\beta}\mathbb{1}_{0\leq y-x < w}\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}(y-x)^{\alpha-1}e^{-(y-x)\beta}\text dx \\ &=\left(\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}\right)^2 e^{-y\beta} \int_{\max(0,y-w)}^{\min(y,w)} x^{\alpha-1} (y-x)^{\alpha-1}\text dx \\ &=\frac{\beta^{2\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^2} e^{-y\beta}y^{2\alpha-1} \left[\mathbb{1}_{0\leq y < w}\text B_{\frac x y}(\alpha,\alpha)\middle|_{0}^{y} + \mathbb{1}_{w\leq y< 2w}\text B_{\frac x y}(\alpha,\alpha)\middle|_{y-w}^{w} \right] \end{aligned}$$
Los límites de integración pueden ser derivados como se describe aquí y $\text B_{x}(\alpha,\beta)$ es la función beta incompleta.
$$\begin{aligned} \left[\text B_{\frac x y}(\alpha,\alpha)\right]_{0}^{y} &= \text B_{1}(\alpha,\alpha) - \text B_{0}(\alpha,\alpha) \\ &= \text B(\alpha,\alpha)\\ &= \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \\ \left[\text B_{\frac x y}(\alpha,\alpha)\right]_{y-w}^{w} &= \text B_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - \text B_{1 - \frac w y}(\alpha,\alpha) \\ &= \text B(\alpha,\alpha) \left( I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - \text I_{1 - \frac w y}(\alpha,\alpha) \right) \\ &= \text B(\alpha,\alpha) \left(\text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - \left( 1 - \text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) \right) \right) \\ &= \text B(\alpha,\alpha) \left(2\text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - 1 \right) \\ &= \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \left(2\text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - 1 \right) \\ \end{aligned}$$
donde $\text I_x(\alpha,\beta)$ es la regularización de la función beta incompleta y $\text B(\alpha,\beta)$ es la función beta. Por lo tanto:
$$\begin{aligned} g(y) = \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \frac{\beta^{2\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^2} e^{-y\beta}y^{2\alpha-1} &\left[\mathbb{1}_{0\leq y < w} + \mathbb{1}_{w\leq y< 2w}\left(2\text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) - 1 \right) \right] \end{aligned}$$
Así que ahora vamos a $Y = X_1 + X_2$ y deje $Z = Y + X_3$ (en otras palabras, $N=3$). La distribución de $Z$ es:
$$\begin{aligned} h(z) &= \left(f*g\right)(z) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y)g(y)\text dy \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbb{1}_{0\leq z-y < w}\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}(z-y)^{\alpha-1}e^{-(z-y)\beta} \frac{\beta^{2\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^2} e^{-y\beta}y^{2\alpha-1} \mathbb{1}_{0\leq y < w}\frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \text dy\\ &+ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbb{1}_{0\leq z-y < w}\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}(z-y)^{\alpha-1}e^{-(z-y)\beta} \frac{\beta^{2\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^2} e^{-y\beta}y^{2\alpha-1} \mathbb{1}_{w\leq y< 2w}\frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} 2\text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) \text dy \\ &- \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbb{1}_{0\leq z-y < w}\frac{\beta^\alpha}{\gamma(\alpha,w\beta)}(z-y)^{\alpha-1}e^{-(z-y)\beta} \frac{\beta^{2\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^2} e^{-y\beta}y^{2\alpha-1} \mathbb{1}_{w\leq y< 2w}\frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \text dy \\ &= \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \int_{\max(0,z-w)}^{\min(z,w)} (z-y)^{\alpha-1}y^{2\alpha-1} \text dy\\ &+ 2\frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \int_{\max(w,z-w)}^{\min(z,2w)} (z-y)^{\alpha-1}y^{2\alpha-1} \text I_{\frac w y}(\alpha,\alpha) \text dy \\ &- \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} \int_{\max(w,z-w)}^{\min(z,2w)} (z-y)^{\alpha-1}y^{2\alpha-1} \text dy \\ &= \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} z^{3\alpha-1} \left[ \mathbb{1}_{0 \leq z < w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{0}^{z} + \mathbb{1}_{w \leq z < 2w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{z-w}^{w} \right] \\ &+ 2\frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \int_{\max(w,z-w)}^{\min(z,2w)} (z-y)^{\alpha-1}y^{2\alpha-1} \text B_{\frac w y}(\alpha,\alpha) \text dy \\ &- \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} z^{3\alpha-1} \left[ \mathbb{1}_{w \leq z < 2w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{w}^{z} + \mathbb{1}_{2w \leq z < 3w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{z-w}^{2w} \right] \\ &= \mathbb{1}_{0 \leq z < w} \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^3}{\Gamma(3\alpha)} z^{3\alpha-1} \\ &+ \mathbb{1}_{w \leq z < 2w} \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} z^{3\alpha-1} \left(\text B_{\frac w z}(2\alpha,\alpha) - \text B_{1-\frac w z}(2\alpha,\alpha) \right) \\ &+ 2\frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \int_{\max(w,z-w)}^{\min(z,2w)} (z-y)^{\alpha-1}y^{2\alpha-1} \text B_{\frac w y}(\alpha,\alpha) \text dy \\ &- \frac{\beta^{3\alpha}}{\gamma(\alpha,w\beta)^3} e^{-z\beta} \frac{\Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(2\alpha)} z^{3\alpha-1} \left[ \mathbb{1}_{w \leq z < 2w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{w}^{z} + \mathbb{1}_{2w \leq z < 3w} \text B_{\frac x z}(2\alpha,\alpha) \middle|_{z-w}^{2w} \right] \\ \end{aligned}$$
Esto es lo más lejos que he llegado.
NB: este es un subproblem de la que me he fijado en la Suma de truncado de Gammas y degenerado. Una buena solución para el problema actual podría ayudar a conducir a una solución a la anterior, pero los dos no son exactamente los mismos.
