6 votos

Distribuciones uniformes en el espacio de rotaciones en 3D

Creo, por razones morales, que las tres definiciones siguientes son equivalentes y determinan "la" distribución uniforme en rotaciones en tres dimensiones.

  1. La medida de Haar en SO(3)SO(3) .

  2. La distribución uniforme en la esfera unitaria en R4 modulo antipodal points, cada punto se interpreta como un cuaternión que determina una rotación 3D.

  3. Considere la distribución que surge del siguiente esquema de muestreo. Elige de forma independiente y uniforme un vector unitario ˆw en R3 y un número real θ en [0,2π) . Defina la rotación correspondiente como (i) una rotación arbitraria que mapea el ˆz eje a ˆw seguido de (ii) una rotación por θ acerca de ˆw . (El efecto de la elección en (i) se suaviza con la rotación posterior en (ii)).

Me gustaría ver una prueba o refutación (idealmente, elegante y sucinta) de la equivalencia de estas tres distribuciones. Probablemente pueda resolverlo yo mismo dándole vueltas a la manivela del cálculo, pero eso no sería elegante.

3voto

JiminyCricket Puntos 143

Para la equivalencia de 1 y 2, podemos demostrar que la traslación (izquierda o derecha) de los cuaterniones unitarios por un cuaternión unitario es una isometría de S3 :

Vectores dados x,yS3 traduciendo ambos por aS3 en el sentido de la multiplicación de cuaterniones conduce al producto punto

(ax)(ay)=(a0x0axa0x+x0aa×x)(a0y0aya0y+y0aa×y)=a20x0y0+a2x0y0+a20xy+(ax)(ay)+(a×x)(a×y)=(a20+a2)x0y0+(a20+a2)xy=x0y0+xy=xy,

por lo que la traslación es una isometría de S3 y deja invariante la distribución 2. (En este contexto estoy dando por sentados los aspectos más técnicos de la medida de Haar que implican regularidad interna y externa).

Si dividimos las rotaciones como en 3, entonces para que la distribución sea invariante bajo traslación por rotaciones arbitrarias, en particular la distribución de θ debe ser invariante bajo rotaciones arbitrarias alrededor de ˆw Así que θ debe estar uniformemente distribuida. También la distribución de ˆw claramente tiene que ser rotacionalmente simétrica respecto a ˆz . Por lo tanto, sólo queda demostrar que la distribución uniforme de ˆwˆz en la distribución 3 es correcta.

No tengo un argumento elegante sin cálculo para esto, pero aquí hay un cálculo que trata de hacer sin demasiada fuerza bruta. Para una rotación por α acerca de ˆu la rotación z eje es

cosαˆz+sinαˆu׈z+(1cosα)ˆu(ˆuˆz),

y formando el producto punto con ˆz da una relación entre los tres cosenos,

c=a+(1a)b2,

donde a=cosα , b=ˆuˆz y c es el coseno entre el original y el girado z ejes.

Para calcular la función de distribución acumulativa de c Obsérvese que ca y que b se distribuye uniformemente según la distribución 2, por lo que podemos resolver el límite superior de b ,

b=ca1a,

y hallar la densidad para a según la distribución 2,

sin2α2dα1cosαsinαd(cosα)=1a1a2da=1a1+ada,

para hallar la función de distribución acumulativa de c proporcional a

c1ca1a1a1+ada=c1ca1+ada.

Ahora podemos diferenciar con respecto a c para obtener la densidad de c . El término resultante de variar el límite de integración desaparece porque el integrando desaparece en a=c por lo que el resultado es proporcional a

c11(ca)(1+a)da=[2arctan1+aca]c1=π,

una constante, lo que establece la equivalencia entre las distribuciones 2 y 3.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X