Distribuciones uniformes en el espacio de rotaciones en 3D

Question

Creo, por razones morales, que las tres definiciones siguientes son equivalentes y determinan "la" distribución uniforme en rotaciones en tres dimensiones.

1. La medida de Haar en $SO(3)$ .

2. La distribución uniforme en la esfera unitaria en $\mathbb R^4$ modulo antipodal points, cada punto se interpreta como un cuaternión que determina una rotación 3D.

3. Considere la distribución que surge del siguiente esquema de muestreo. Elige de forma independiente y uniforme un vector unitario $\hat w$ en $\mathbb R^3$ y un número real $\theta$ en $[0, 2\pi)$ . Defina la rotación correspondiente como (i) una rotación arbitraria que mapea el $\hat z$ eje a $\hat w$ seguido de (ii) una rotación por $\theta$ acerca de $\hat w$ . (El efecto de la elección en (i) se suaviza con la rotación posterior en (ii)).

Me gustaría ver una prueba o refutación (idealmente, elegante y sucinta) de la equivalencia de estas tres distribuciones. Probablemente pueda resolverlo yo mismo dándole vueltas a la manivela del cálculo, pero eso no sería elegante.

Answer 1

Para la equivalencia de 1 y 2, podemos demostrar que la traslación (izquierda o derecha) de los cuaterniones unitarios por un cuaternión unitario es una isometría de $S^3$ :

Vectores dados $x,y\in S^3$ traduciendo ambos por $a\in S^3$ en el sentido de la multiplicación de cuaterniones conduce al producto punto

$$ \begin{align} (ax)\cdot(ay) &= \pmatrix{a_0x_0-\vec a\cdot\vec x\\a_0\vec x+x_0\vec a-\vec a\times\vec x} \cdot \pmatrix{a_0y_0-\vec a\cdot\vec y\\a_0\vec y+y_0\vec a-\vec a\times\vec y} \\ &=a_0^2x_0y_0+\vec a^2x_0y_0+a_0^2\vec x\cdot\vec y+(\vec a\cdot\vec x)(\vec a\cdot\vec y)+ (\vec a\times\vec x)(\vec a\times\vec y) \\ &=(a_0^2+\vec a^2)x_0y_0+(a_0^2+\vec a^2)\vec x\cdot\vec y \\ &=x_0y_0+\vec x\cdot\vec y \\ &=x\cdot y\;, \end{align} $$

por lo que la traslación es una isometría de $S^3$ y deja invariante la distribución 2. (En este contexto estoy dando por sentados los aspectos más técnicos de la medida de Haar que implican regularidad interna y externa).

Si dividimos las rotaciones como en 3, entonces para que la distribución sea invariante bajo traslación por rotaciones arbitrarias, en particular la distribución de $\theta$ debe ser invariante bajo rotaciones arbitrarias alrededor de $\hat w$ Así que $\theta$ debe estar uniformemente distribuida. También la distribución de $\hat w$ claramente tiene que ser rotacionalmente simétrica respecto a $\hat z$ . Por lo tanto, sólo queda demostrar que la distribución uniforme de $\hat w\cdot\hat z$ en la distribución 3 es correcta.

No tengo un argumento elegante sin cálculo para esto, pero aquí hay un cálculo que trata de hacer sin demasiada fuerza bruta. Para una rotación por $\alpha$ acerca de $\hat u$ la rotación $z$ eje es

$$ \cos\alpha\,\hat z+\sin\alpha\,\hat u\times\hat z+(1-\cos\alpha)\hat u(\hat u\cdot\hat z)\;, $$

y formando el producto punto con $\hat z$ da una relación entre los tres cosenos,

$$c=a+(1-a)b^2\;,$$

donde $a=\cos\alpha$ , $b=\hat u\cdot\hat z$ y $c$ es el coseno entre el original y el girado $z$ ejes.

Para calcular la función de distribución acumulativa de $c$ Obsérvese que $c\ge a$ y que $b$ se distribuye uniformemente según la distribución 2, por lo que podemos resolver el límite superior de $b$ ,

$$ b=\sqrt{\frac{c-a}{1-a}}\;, $$

y hallar la densidad para $a$ según la distribución 2,

$$ \sin^2\frac\alpha2\mathrm d\alpha\propto\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\mathrm d(\cos\alpha)=\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}}\mathrm da=\sqrt{\frac{1-a}{1+a}}\mathrm da\;, $$

para hallar la función de distribución acumulativa de $c$ proporcional a

$$ \int_{-1}^c\sqrt{\frac{c-a}{1-a}}\sqrt{\frac{1-a}{1+a}}\mathrm da=\int_{-1}^c\sqrt{\frac{c-a}{1+a}}\mathrm da\;. $$

Ahora podemos diferenciar con respecto a $c$ para obtener la densidad de $c$ . El término resultante de variar el límite de integración desaparece porque el integrando desaparece en $a=c$ por lo que el resultado es proporcional a

$$ \int_{-1}^c\frac1{\sqrt{(c-a)(1+a)}}\mathrm da=\left[2\arctan\sqrt{\frac{1+a}{c-a}}\right]_{-1}^c=\pi\;, $$

una constante, lo que establece la equivalencia entre las distribuciones 2 y 3.