Para la equivalencia de 1 y 2, podemos demostrar que la traslación (izquierda o derecha) de los cuaterniones unitarios por un cuaternión unitario es una isometría de S3 :
Vectores dados x,y∈S3 traduciendo ambos por a∈S3 en el sentido de la multiplicación de cuaterniones conduce al producto punto
(ax)⋅(ay)=(a0x0−→a⋅→xa0→x+x0→a−→a×→x)⋅(a0y0−→a⋅→ya0→y+y0→a−→a×→y)=a20x0y0+→a2x0y0+a20→x⋅→y+(→a⋅→x)(→a⋅→y)+(→a×→x)(→a×→y)=(a20+→a2)x0y0+(a20+→a2)→x⋅→y=x0y0+→x⋅→y=x⋅y,
por lo que la traslación es una isometría de S3 y deja invariante la distribución 2. (En este contexto estoy dando por sentados los aspectos más técnicos de la medida de Haar que implican regularidad interna y externa).
Si dividimos las rotaciones como en 3, entonces para que la distribución sea invariante bajo traslación por rotaciones arbitrarias, en particular la distribución de θ debe ser invariante bajo rotaciones arbitrarias alrededor de ˆw Así que θ debe estar uniformemente distribuida. También la distribución de ˆw claramente tiene que ser rotacionalmente simétrica respecto a ˆz . Por lo tanto, sólo queda demostrar que la distribución uniforme de ˆw⋅ˆz en la distribución 3 es correcta.
No tengo un argumento elegante sin cálculo para esto, pero aquí hay un cálculo que trata de hacer sin demasiada fuerza bruta. Para una rotación por α acerca de ˆu la rotación z eje es
cosαˆz+sinαˆu׈z+(1−cosα)ˆu(ˆu⋅ˆz),
y formando el producto punto con ˆz da una relación entre los tres cosenos,
c=a+(1−a)b2,
donde a=cosα , b=ˆu⋅ˆz y c es el coseno entre el original y el girado z ejes.
Para calcular la función de distribución acumulativa de c Obsérvese que c≥a y que b se distribuye uniformemente según la distribución 2, por lo que podemos resolver el límite superior de b ,
b=√c−a1−a,
y hallar la densidad para a según la distribución 2,
sin2α2dα∝1−cosαsinαd(cosα)=1−a√1−a2da=√1−a1+ada,
para hallar la función de distribución acumulativa de c proporcional a
∫c−1√c−a1−a√1−a1+ada=∫c−1√c−a1+ada.
Ahora podemos diferenciar con respecto a c para obtener la densidad de c . El término resultante de variar el límite de integración desaparece porque el integrando desaparece en a=c por lo que el resultado es proporcional a
∫c−11√(c−a)(1+a)da=[2arctan√1+ac−a]c−1=π,
una constante, lo que establece la equivalencia entre las distribuciones 2 y 3.