El cálculo de la función de Green de la interacción teoría del campo

Question

Actualmente estoy en la lucha con el cálculo de funciones de Green en una interacción de la teoría de campo.

Si yo uso el Yukawa la teoría de campo con un escalar $\phi$ campo y un complejo de $\psi$ campo como un simple ejemplo, tengo el siguiente Lagrangiano:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^{2}-\frac{1}{2}M^{2}\phi^{2}+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi^{\dagger})(\partial^{\mu}\psi)-\frac{1}{2}m^{2}\psi^{\dagger}\psi-g\psi^{\dagger}\psi\phi$$

Si yo quería encontrar una función de Green como:

$$G_{1}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle\quad\text{or}\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi^{\dagger}(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle$$

Me puede hacer esto utilizando una generación funcional, $Z[J,\eta,\eta^{\dagger}]$:

$$G^{(3)}_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0},\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta^{\dagger}\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0}$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo se derivan de la generación funcional en este caso. Todas las notas que puedo encontrar a hablar de la que se derive una generación funcional para una libre escalar la teoría de campo.

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Sé que podemos escribir una función de Green en términos de la suma de todos los conectados gráficos con $n$ líneas externas. Sin embargo, en este caso yo no tengo las reglas de Feynman y así (creo) esto no me ayuda

Answer 1

La generación funcional, como siempre, está dada por

$$ Z[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \int \mathcal{D}\phi \mathcal{D} \psi \mathcal{D} \psi^{\dagger} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \left( \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) +J\phi + \eta^{\dagger}\psi + \psi^{\dagger}\eta\right)\right] = $$ $$ \exp \left[ -\frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \frac{\delta}{\delta J} \frac{\delta}{\delta \eta} \frac{\delta}{\delta \eta^{\dagger}} \right] \; Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}], $$

donde $Z_0$ es la generación de funcionales de la libre teoría:

$$ Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \hbar \int d^4 x \, \int d^4 y \, \left( \frac{1}{2} J(x) \Delta_M(x, y) J(y) + \eta^{\dagger}(x) \Delta_m(x, y) \eta(y) \right) $$

con $\Delta_m$ el de Klein-Gordon propagador con masa $m$.

Su fórmula para las correlaciones (también conocido como funciones de Green de la interacción de la teoría) es correcta. Usted tiene que Adaptar a expandir la exponencial de la interacción de plazo a la correspondiente orden de teoría de perturbaciones.

Acabo de hacer la matemática y se llega a la correcta expresiones para las funciones de correlación. Alerta de Spoiler: el segundo se desvanece.

Por cierto, no es necesario escribir explícitamente la generación funcional para calcular las correlaciones. Hay una manera más sencilla: en primer lugar, tenga en cuenta que usted puede calcular expresiones como

$$ \left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right>_0 = \mathcal{N}_0 \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}_0(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] $$

donde $F$ es el polinomio en los campos con la ayuda de la Mecha del teorema. También tenga en cuenta el diagrama de la interpretación de los términos en los que la Mecha de expansión.

A continuación, definir

$$ \left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right> = \mathcal{N} \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] = $$ $$ \frac{\mathcal{N}}{\mathcal{N}_0} \left< F \cdot \exp \left[ - \frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \phi \psi^{\dagger} \psi \right] \right>_0. $$

y a Medida ampliar la exponencial de la interacción de plazo para cualquier fin (por adelantado). Se llega a la expresión polinómica (porque ambos $F$ y el truncado de Adaptar la serie son polinomios en $\phi$, $\psi$ y $\psi^{\dagger}$). Ya sabemos cómo calcular estos:

La expectativa de soporte, para cada orden en el perturbativa de la serie, está dada por una suma de términos. Cada término puede ser representada gráficamente como un diagrama de Feynman.

La expectativa de los soportes, son, por definición normalizada tal que $$ \left<1\right>_0 = \left<1\right> = 1, $$

lo que significa que $\mathcal{N}_0$ $\mathcal{N}$ están relacionados unos con otros. Hay una muy genérica resultado, que es: la relación de $\mathcal{N} / \mathcal{N_0}$ se corresponde con el producto de todos los gráficos de burbuja (los que no externo de las piernas). Estas muy bien factor, dando una forma conveniente para calcular correlaciones:

La adecuada normalización puede ser explicada por simplemente ignorando los gráficos con desconectada burbujas.