Encontrar el valor de $\sqrt{i+\sqrt{\frac12i+\sqrt{\frac13i+\dots}}}$

Question

Encontrar el valor de $\sqrt{i+\sqrt{\frac12i+\sqrt{\frac13i+\dots}}}$ .

Es convergente, incluso ?

Answer 1

Sugerencia: $$\begin{align}r_1&:\mathbb N\to\mathbb R, a\to\sqrt{a} \\ r_{n+1}&:\mathbb N\to\mathbb R, a\to\sqrt{a+r_n(a)}&\forall n\in\mathbb N\end{align}$$ $$s_n(a)=r_n(a)/r_{n-1}(a)$$ $$s_1(a) = r_1(a)$$ $$\sqrt{i+\sqrt{\frac12i+\sqrt{\frac13i+\dots}}}=\prod_{n=1}^\infty s_n(i/n)$$ Esto puede hacer que el cálculo es un poco más fácil.