Función proyectiva en el número Hartogs de un conjunto

Question

Para cualquier conjunto $A$ existe una función suryectiva $f:\mathcal{P}(A\times A)\longrightarrow\mathcal{H}(A)$ . $\mathcal{H}(A)$ es el número Hartogs de $A$ .

Intento de prueba:

Supongamos que $R\subseteq A\times A$ . Entonces, o bien $R$ es una orden de bien, o no lo es. Si $R$ es un bien ordenado, entonces $R$ tiene el tipo de orden de un único $\alpha_R$ , donde $\alpha_R$ es un número ordinal.

Definir $f:\mathcal{P}(A\times A)\longrightarrow\mathcal{H}(A)$ por $f(R)=\alpha_R$ si $R$ es una orden de bien y $f(R)=0$ de lo contrario.

Comprobando que $f$ es una función es sencilla. Supongamos que $f(R)=\alpha$ y $f(R)=\beta$ . Si $R$ no es un bien-orden, entonces $f(R)=0=\alpha=\beta$ . Si $R$ es un bien ordenado, entonces $\alpha_R$ es único y $\alpha=\alpha_R=\beta=f(R)$ .

Para mostrar $f$ es suryente, supongamos que $\alpha\in\mathcal{H}(A)$ . Tenemos que encontrar un $R\in\mathcal{P}(A\times A)$ tal que $f(R)=\alpha$ . Aquí es donde tengo problemas. Sé que desde $\alpha\in\mathcal{H}(A)$ debe ser un ordinal. No es difícil construir un conjunto bien ordenado isomorfo a $\alpha$ . Sin embargo, me está costando mucho construir un $\textbf{subset of $ A \times A $}$ que es isomorfo a $\alpha$ .

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

CONSEJO: Si $\alpha\in\mathscr{H}(A)$ , hay una inyección $h:\alpha\to A$ y puede utilizar $h[\alpha]\subseteq A$ para construir un $R\subseteq A\times A$ tal que $f(R)=\alpha$ .

Answer 2

Desde $\mathcal{H}(A)$ es un conjunto de posibles ordenaciones de subconjuntos de $A$ , hay $R\in P(A\times A)$ tal que el tipo de orden de $R=\beta$ para cada $\beta\in\mathcal{H}(A)$ . Dejemos que $g(R)=$ el tipo de orden de $R$ si $R$ es una ordenación correcta; en caso contrario $g(R)=0$ . Entonces tenemos un mapeo de $P(A\times A)$ en $\mathcal{H}(A)$ dado por $R\mapsto g(R)$ .