Sylow de 2 Grupos de Especial Lineales Grupo

Question

Deje $SL_2(\mathbb{F}_3)$ ser el especial lineal de grupo en el campo finito $\mathbb{F}_3$. Demostrar que cualquier Sylow 2-grupo de $SL_2(\mathbb{F}_3)$ es isomorfo al grupo de cuaterniones de orden 8.

Answer 1

Sugerencias:

$$|GL_2(\Bbb F_3)|=(3^2-1)(3^2-3)=8\cdot 6=48\implies |SL_2(\Bbb F_3)|=\frac{48}2=24$$

Defina los siguientes:

$$e=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\;,\;\;-e=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\;,\;\;i=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}\;,\;\;j=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\;,\;\;k=\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}$$

Y ahora echa un vistazo a la siguiente (hey, después de todo el campo de $\,\Bbb F_3\;$ es bastante pequeño y fácil de trabajar con el!):

$$i^2=j^2=k^2=-e\;,\;\;ij=k\;,\;\;jk=i\;,\;\;ki=j\;\ldots\ldots$$

Answer 2

$SL(2,\mathbb{F}_3)$ ha elemento único de la orden de $2$ (un ejercicio interesante!!!); un $2$-grupo con elemento único de la orden de $2$ es cíclico o de cuaterniones. $|SL(2,\mathbb{F}_3)|=2^3.3$. Si Sylow-$2$ subgrupo es cíclica, a continuación, grupo contiene un elemento de orden $8$. Pero una matriz con entradas en $\mathbb{F}_3$ cuyo fin es $8$ tiene un mínimo de un polinomio divisor de $x^8-1/(x^4-1)=x^4+1=(x^2+x-1)(x^2-x-1)$; los últimos dos polinomios son irrefucible $\mathbb{F}_3$, pero su compañero matrices tienen determinante $-1$, por lo que no están en $SL(2,\mathbb{F}_3)$). Por lo tanto, no hay ningún elemento de orden $8$$SL(2,\mathbb{F}_3)$.

(Gracias a Jack Schmidt para darse cuenta de un error en la última declaración, que es ahora modificado.)