Un límite más agudo para $\|\cos(kA)\|_{\infty}$ para matrices estocásticas simétricas

Question

Dado $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ que es simétrica, estocástica y diagonalizable, y $k \in \mathbb{N}$ Estoy interesado en delimitar $\|\cos(kA)\|_{\infty}$ desde arriba.

$\| \|_{\infty}$ es el inducido $\ell_{\infty}$ norma, es decir $\|A\|_{\infty} = \max_{i}\sum_j|A_{i,j}|$ y el coseno de una matriz puede definirse, por ejemplo, mediante su expansión de Taylor, $\cos(A) = \sum_t \frac{(-1)^{t}}{(2t)!}A^{2t}$ .

El límite trivial es por supuesto $\cosh(k)$ . Sin embargo, parece muy poco ajustado para grandes $k$ . Por ejemplo, también tenemos $\|\cos(kA)\|_{\infty} \le \sqrt{n}\|\cos(kA)\|_{2} = \sqrt{n}$ (ya que $\cos(kA)$ es normal y su mayor valor propio es como máximo $1$ ).

¿Se puede ver un límite más estricto en el caso especial en el que $A$ es doblemente estocástico?

Muchas gracias.

Answer 1

Denote $f(x) = \cos(kx)$ y que $g(a) = f\left(1-2\frac{|a|}{d}\right)$ para $a \in \{0,1\}^{d}$ .

Si tomamos $A$ para ser la matriz de adyacencia del gráfico de hipercubos con $2^{d}$ vértices, la cuestión es equivalente a encontrar la llamada norma espectral de $g$ como una función booleana, es decir $$\|f(A)\|_{\infty} = \| \hat{g}\|_{1}.$$

No he podido acotarlo analíticamente, sin embargo los experimentos numéricos sugieren que lo anterior se comporta como $d$ y desgraciadamente no está limitada por una constante.

Sin embargo, no tengo más idea de qué matrices la expresión anterior está limitada por una constante (¿tal vez gráficos regulares de grado constante?).