Mostrar independencia lineal de$\{1, \cos x, \sin x\}$

Question

Independencia lineal de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ da como $$a+\cos(x)b+\sin(x)c=0$$ Primero elijo $x=-\frac{\pi}{2}$. Puedo conseguir $$a+0b-1c=0\iff a=c$$ Entonces elijo $x=\pi$. Puedo conseguir $$a-b+0c=0\iff a=b$$ Tenemos que eventos $(\cos(x)=0\cap \sin(x)=0)=\emptyset$ ya que son distintos eventos, por lo que no podemos concluir sin embargo que $a=0$ debe de ser verdad. Si usamos ese $a=b=c$, tenemos: $$a+\cos(x)b+\sin(x)c=a+\cos(x)a+\sin(x)a=0\iff 1+\cos(x)+\sin(x)=0\iff x=\pi\vee x=-\frac{\pi}{2}$$ Para $x\neq\pi$ $x\neq-\frac{\pi}{2}$ $a=b=c=0$ para que la ecuación sea verdadera.

Es esta la manera correcta de mostrar que ellos son lineales independientes?

Answer 1

tomando $x=0$ tenemos $$a+b=0 \tag{1}$$ para $x=\dfrac{\pi}{2}$ obtenemos $$a+c=0 \tag{2}$$ y establecimiento $x=\pi$ tenemos $$a-b=0 \tag{3}$$ la adición de $(1)$ $(3)$ juntos podemos conseguir $$a=0$$ and thus from $(1)$ $$b=0$$ and from $(2)$ $$c=0$$

Answer 2

Sí, es bueno, pero usando también se $x=0$ es más simple.

Para un enfoque diferente, se diferencian dos veces y evaluar las tres expresiones en $0$: \begin{gather} a+b\cos0+c\sin0=0\\ -b\sin0+c\cos0=0\\ -b\cos0-c\sin0=0 \end{reunir}

Answer 3

Sólo para dar un enfoque distinto, supongamos $a+b\cos x+c\sin x=0$ todos los $x$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $b\ge0$. Si $b^2+c^2\not=0$, luego $$x=\arcsin\left({c\over\sqrt{b^2+c^2}}\right)\implies a+\sqrt{b^2+c^2}=0$$ mientras $$x=\arcsin\left({c\over\sqrt{b^2+c^2}}\right)+\pi\implies a-\sqrt{b^2+c^2}=0$$ que en conjunto implican $b^2+c^2=0$, una contradicción. Así que debemos tener $b=c=0$, lo que implica $a=0$.