¿Existen ejemplos no triviales de un derivado 'infinito'? ¿Cuál es el criterio para la 'convergencia'?

Question

Déjenme comenzar esta diciendo que la "convergencia" se refiere a $\lim_{n\to\infty}\frac{d^nf(x)}{dx^n}$ estar bien definido. Esto está en contraste con las funciones que, a pesar de tener los derivados de todos los órdenes, no acercarse a cualquier valor particular como cada una de las sucesivas derivadas (por ejemplo, $\cos{x}$ o $1/x$).

Hay dos casos triviales para el 'infinitieth' derivado - es decir $ke^{x+c}$, para que $\frac{d^\infty f(x)}{dx^\infty}=ke^{x+c}$, e $\frac{d^\infty f(x)}{dx^\infty}=0$, que es el caso para cualquier función con algunas constantes $n^\text{th}$ derivado (por ejemplo, encendido/funciones polinómicas).

Intuitivamente, se me ocurren un par de razones por las que no habría otros ejemplos, pero entonces no podrían ser algunos de los notables de la función especial que sobrepasa todos los límites de la intuición.

Hay no trivial ejemplos de funciones (real o complejo), donde el "infinitieth' derivado existe?

Answer 1

También $f(x) = P(x) e^{cx}$ donde $|c|<1$ y $P$ es un polinomio tiene $\lim_{n \to \infty} f^{(n)}(x) = 0$ . Y no olvide que las combinaciones lineales de soluciones son soluciones.

Answer 2

Se supone que en algún barrio de $x=0$, la función de $f$ está dado por una convergente de alimentación de la serie $f(x) = \sum_{n \in \Bbb N} a_n x^n$. A continuación, la existencia de $\lim_{n\to \infty} f^{(n)}(0)$ es equivalente a la existencia de

$(*) \qquad \displaystyle\lim_{n\to \infty} n! \cdot a_n$.

A la inversa, dada una secuencia $(a_n)_n$ tal que $(*)$ existe, la función de $f(x) := \sum_{n \in \Bbb N} a_n x^n$, en comparación con la exponencial de la serie, en realidad converge en todos los de $\Bbb R$, y el límite de sus derivados también existe en todas partes.

El conjunto de funciones definidas por las secuencias de satisfacciones $(*)$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar, e incluye todos los ejemplos hasta ahora (por polinomios, $a_n = 0$ para $n \gg 0$; para Robert básicos de Israel caso de $f(x) = Ae^{cx}$ con $c \in (-1, 1]$, tenemos $a_n = \frac{A c^n}{n!}$); pero también muchos más. Por ejemplo:

(1) $f(x) = \sum_{n \in \Bbb N} \frac{1}{(n!)^2} x^n$o $f(x) = \sum_{n \in \Bbb N} \frac{1}{(n!)!} x^n$

(2) tomar cualquier subconjunto $S \subsetneq \Bbb N$ y establezca $f(x) = \sum_{n \in S} \frac{1}{n!} x^n$

o cualquier combinación de estas ideas (Robert generales de Israel ejemplo se incluye aquí también).

Para el análogo pregunta sobre $\Bbb C$, estos deberían de ser todas las soluciones. Si no se imponen condiciones más fuerte, en $\Bbb R$ hay más, por ejemplo, $f(x) = e^{-1/x^2}$ (con la discontinuidad en el $0$ eliminado) al menos ha $\lim_{n\to \infty} f^{(n)}(0) = 0$.