Supongamos que nos dan $ f(x)$ holomorphic en $ \Bbb C \setminus\{0\}$ que tiene la serie de Laurent en torno a $0$ y $ f(x)\in \Bbb R $ para todos $ x \in \Bbb R $ , $x\ne0$ .
¿Implica que todos los coeficientes de la serie de Laurent deben ser reales?
¿Cómo puedo probarlo? Cualquier consejo sería apreciado.
Si es cierto. Deje que $\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n$ sea esa serie de Laurent. Luego $$\overline{f\left(\overline z\right)}=\sum_{n=-\infty}^\infty\overline{a_n}z^n.$$Then, for real numbers $ x$ you have$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_nx^n=f(x)=\overline{f(x)}=\sum_{n=-\infty}^\infty\overline{a_n}x^n.$$Therefore, $ (\ forall n \ in \ mathbb {Z}): a_n = \ overline {a_n}$, which means that every $ a_n $ es real.
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