Soluciones a la medida!

Question

Hay más de una solución a $\frac{1}{K!}+\frac{1}{L!}+\frac{1}{M!}=\frac{1}{N!}$ donde $K, L, M, N$ son todos los números naturales?

La única solución que se me ocurrió fue asumir que $K=L=M$, por lo tanto; $\frac{1}{N!} = \frac{1}{K!}+\frac{1}{K!}+\frac{1}{K!}=\frac{3}{K!}$

Y a partir de esto podemos usar un sentido lógico decir que $K=3$ e $N=2$, pero, ¿hay alguna otra solución para esto?

Answer 1

Suponer sin pérdida de generalidad que $K \le L \le M$. A continuación, $1/K! \ge 1/L! \ge 1/M!$. Ya que estos tres sumandos suman a $1/N!$ el más grande, $1/K!$, debe ser al menos un tercio de $1/N!$. De esto podemos deducir que, o bien $K = 2, N = 1$ o $K = 3, N = 2$.

En el caso de $K = 2, N = 1$ ha $1/2 + 1/L! + 1/M! = 1$, lo $1/L! + 1/M! = 1/2$. Pero, a continuación, cualquiera de las $L = 2$, dándonos $1/M! = 0$ lo cual es imposible, o $L = 3$, lo $1/L! = 1/6$, y desde $1/L! \ge 1/M!$ , no podemos tener $1/L! + 1/M!$ agregar a $1/2$.

Así que debemos tener $K = 3, N = 2$. Ahora $1/6 + 1/L! + 1/M! = 1/2$, lo $1/L! + 1/M! = 1/3$. Desde $1/L!$ es el más grande sumando debe tener al menos $1/6$, dando a $K = 3, L = 3, M = 3$ como la única solución.