Evaluar la integral indefinida$\int \frac{dt}{(t^2-1)^2}$ de una función racional

Question

Tengo este problema:

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y estoy un poco inseguro sobre cómo proceder. Podría usar fracciones parciales:

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Y vete de allí ... pero eso parece largo y complicado. ¿Hay un truco que me falta?

Answer 1

Usted realmente no necesita descomposición en fracciones parciales. En realidad, las integrales de $\;\displaystyle I_n=\int\frac{\mathrm dt}{(1-t^2)^n} \;$ e $\;\displaystyle J_n=\smash{\int\frac{\mathrm dt}{(1+t^2)^n}} $ son los mejores calculada de forma recursiva.

Tenga en cuenta que para $n=1$, es básico que $$\int\frac{\mathrm dt}{ 1-t^2}=\arg\!\tanh x=\frac12\ln\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr) $$ Ahora, para el cálculo de $I_2$, realizar la integración por partes para $I_1$:

Set $\;u=\dfrac{1}{ 1-t^2},\;\mathrm dv=\mathrm dt$, de donde $\;\mathrm du=\dfrac{2t\,\mathrm dt}{(1-t^2)^2},\;v=t$. Obtenemos \begin{align} \int\frac{\mathrm dt}{ 1-t^2}&=\frac{t}{ 1-t^2} -2\int\dfrac{t^2\,\mathrm dt}{(1-t^2)^2}=\frac{t}{ 1-t^2} -2\int\dfrac{(t^2-1+1)\,\mathrm dt}{(1-t^2)^2}\\ &=\frac{t}{ 1-t^2} +2\int\dfrac{\mathrm dt}{1-t^2}-2\int\dfrac{\mathrm dt}{(1-t^2)^2}. \end{align} Puede finalizar el cálculo?

Answer 2

La corrección de un pequeño error en la declaración del problema muestra que la descomposición de las fracciones parciales del integrando tiene la forma $$\frac{1}{(t^2 - 1)^2} = \frac{A}{(t - 1)^2} + \frac{B}{t - 1} + \frac{C}{(t + 1)^2} + \frac{D}{t + 1}.$ $

Sugerencia Dado que el lado izquierdo es parejo, también lo es el lado derecho.

La uniformidad impone precisamente que $$C = A, D = - B ,$$ leaving a system of two unknowns, $ A, B$. There are several options for proceeding. A cheap one is evaluating both sides at $ t = 0$, giving $ 1 = A - B + A - B = 2 (A - B) $ .

Answer 3

Consejo: Debe ser $$ 1/4 \, \ left (t +1 \ right) ^ {- 2} +1/4 \, \ left (t-1 \ right) ^ {- 2} -1/4 \ , \ left (t-1 \ right) ^ {- 1} +1/4 \, \ left (t +1 \ right) ^ {- 1} $$

Answer 4

Puede que encuentre útil esta información. Definir $$I_n=\int\frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}$$ luego de integrar por partes con $dv=dx$: $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^{n+1}}+2(n+1)\int\frac{ax^2}{(ax^2+b)^{n+2}}dx$$ $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^{n+1}}+2(n+1)\int\frac{ax^2+b}{(ax^2+b)^{n+2}}dx-2b(n+1)\int\frac{dx}{(ax^2+b)^{n+2}}$$ $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^{n+1}}+2(n+1)I_{n}-2b(n+1)I_{n+1}$$ Podemos entonces resolver para $I_{n+1}$: $$I_{n+1}=\frac{x}{2b(n+1)(ax^2+b)^{n+1}}+\frac{2n+1}{2b(n+1)}I_n$$ A continuación, reemplace $n+1$ con $n$ conseguir $$I_n=\frac{x}{2bn(ax^2+b)^n}+\frac{2n-1}{2bn}I_{n-1}$$ Que es una recurrencia con el caso base $$I_0=\frac1{\sqrt{ab}}\arctan\left[x\sqrt{\frac{a}b}\right]$$ Su integral está dada por $n=1,\, a=1,\, b=-1$. Para el caso base, tenemos $$I_0=\frac1{\sqrt{-1}}\arctan x\sqrt{-1}=-i\arctan ix=\operatorname{arctanh}x$$ Así $$I_1=\frac{x}{2(x^2-1)}+\operatorname{arctanh}x+C$$

Answer 5

PS

Cuadrar ambos lados:

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La expansión de la fracción parcial del último término viene dada por (1), por lo tanto tenemos:

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