¿Cómo puedo probar la siguiente desigualdad de suma?

Question

PS

¿Por qué $$ \forall n \in \Bbb N, n \gt 1, \\ P_n: 1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n} < a_n $ es $a_n$ verdadero?

$$ \begin{array}{ll} \text{(a)} & a_n =2 \\ \text{(b)} & a_n=2.5 \\ \text{(c)} & a_n=2\sqrt n \\ \text{(d)} & a_n=\dfrac{2n-1}{n} \\ \text{(e)} & a_n=\dfrac{n}{2} \\ \text{(f)} & a_n=\dfrac{n}{3} \end {array} $$

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial: $\sqrt{n} < n$ para $n > 1$, & lo ${1 \over n} < {1 \over \sqrt{n}}$ por la división de la (positivo) términos a ambos lados.

Luego las sumas parciales de $1/ \sqrt{n}$ son más grandes que las sumas parciales de $1/n$, que es la serie armónica y que diverge a infinito.

Por esta razón, usted sabe que las sumas parciales son también sin límites e ir hasta el infinito, y así, eventualmente, correr más rápido que cualquier delimitada de la secuencia. Esto eliminará muchas de las opciones en la lista.

Para el resto, juguete con las desigualdades y mover términos a un lado o el otro uso desmos.com o de otra calculadora gráfica para mostrar las sumas y las funciones para obtener una intuición para el problema.

Answer 2

$$\frac{P_n}{\sqrt{n}}=\frac 1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{\frac kn}}$ $ $$< \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2$ $

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Voy a seguir un $\ds{\zeta}$-Riemann Zeta Identidad:

\begin{align} \sum_{k = 1}^{n}{1 \over \root{k}} & = 2\root{n} + \zeta\pars{1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\braces{x} \over x^{3/2}}\,\dd x \end{align}

$\mbox{sin Embargo}\,\quad \left\{\begin{array}{l} \ds{\zeta\pars{1 \over 2} \color{red}{< 0}} \\[3mm] \ds{0 < {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\braces{x} \over x^{3/2}}\,\dd x \color{red}{<} {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\dd x \over x^{3/2}} = \color{red}{1 \over \root{n}}} \end{array}\right.$

$$ \implica \sum_{k = 1}^{n}{1 \over \raíz{k}} \color{red}{<} \bbx{2\raíz{n} +{1 \over \raíz{n}}} $$

Answer 4

Una vez que usted sabe que la respuesta es $(c)$, se puede probar por inducción. Para adivinar la respuesta, nota

$\displaystyle \int_{0}^{n} \dfrac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{n}$.

que es una aproximación a la respuesta deseada. Comprobar esta respuesta para más detalles sobre esta aproximación.

El inductivo prueba utiliza el hecho de que

$\dfrac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n}$

que usted puede probar por expansión directa.