Contando el número de formas de formar equipos.

Question

He aquí la Pregunta,

12 los empleados son elegibles para trabajar en una empresa del proyecto. El equipo debe estar compuesto de 4 personas. Sin embargo, dos empleados tuvieron una pelea y se niegan a trabajar juntos. De cuántas maneras puede el equipo se formó?

Así que estoy teniendo un tiempo difícil comprobación/confirmar si mi pensamiento detrás de esto es correcto, incluso cuando se mira en la exclusión de las inclusiones de principios. Así que voy a explicar lo que yo creo que es correcto y espero que alguien pueda confirmar la lógica.

1) $^{12}C_4$ es el número total de maneras de seleccionar un equipo de 4. $^{10}C_2$ es el número total de maneras de excluir el 2 de reunir a la gente. $^{12}C_4 - ^{10}C_2 =450$ formas posibles.

2) Exclusión de 1 de las dos hojas $^{11}C_4$ opciones posibles. Excluye a los otros 1 vez también es $^{11}C_4$ opciones posibles. Sin embargo, esto a través de los recuentos de las otras 10 personas en ambos casos, que es $^{10}C_4$ opciones. Por lo tanto, $2 \times ^{11}C_4 - ^{10}C_4 = 450$ formas posibles.

Sé que la respuesta de los 450 que es correcto, pero no estoy seguro de si mi razonamiento detrás de estos cálculos es la correcta. Tal vez hay otra manera de ver este problema que es más fácil de comprender?

Muchas Gracias

Ken

Answer 1

Su primer método es una forma elegante de resolver el problema.

Aquí es otro enfoque. Observar que exactamente uno de los dos enfrentados a los empleados se coloca en el equipo o ninguno de los dos es.

Exactamente uno de los dos enfrentados a los empleados se coloca en el equipo: Podemos elegir cual de los dos enfrentados a los empleados se coloca en el equipo y que tres de los otros diez empleados se coloca en el equipo con esa persona, que se puede hacer en $$\binom{2}{1}\binom{10}{3}$$ maneras.

Ninguno de los dos enfrentados a los empleados se coloca en el equipo: debemos elegir la que cuatro de las diez empleados se coloca en el equipo, que se puede hacer en $$\binom{10}{4}$$ maneras.

Total: Puesto que estos dos casos son mutuamente excluyentes, el número de formas en que el equipo de cuatro de los empleados puede ser elegido sin la colocación de los dos enemistados empleados es $$\binom{2}{1}\binom{10}{3} + \binom{10}{4} = 450$$ como se encontró.